Optimieren

Für ein Zelt ist vorgegeben, dass es die Form einer senkrechten Pyramide mit quadratischer Grundfläche haben soll. Für diese Form soll nun bei einer gegebenen Zeltstangenlänge von 2,5 m das Volumen V maximiert werden, indem die Kantenlänge a der Grundfläche variiert wird. Folgende Formeln gelten für die Pyramide:

\(V= \frac{1}{3}\cdot a^2 \cdot h\) (Hauptbedingung)

Die Höhe h ist abhängig von a. Durch zweimalige Anwendung des Satzes von Phytagoras lässt sich folgende Formel für die Höhe finden:

\(h(a)=\sqrt{2,5^2-\frac{1}{2}a^2}\) (Nebenbedingung)

1. Versuche, diese Formel für Nebenbedingung selbst herzuleiten!

Wenn man diese nun in die Volumenformel einsetzt, ergibt sich die Zielfunktion zu:

\(V(a)=\frac{1}{3}\cdot a^2 \cdot \sqrt{6,25-\frac{1}{2}a^2}\) (Zielfunktion)

Diese Funktion liefert zu jedem a das resultierende V.

2. Bestimme den Definitionsbereich für a (im Anwendungskontext)!

3. Berechne das lokale Maximum der Volumenfunktion mithilfe der 1. Ableitung und interpretiere Dein Ergebnis!

4. Berechne die Höhe des Zelts im Maximum!

Überprüfe deine Ergebnisse anhand der interaktiven Schaubilder!