Koordinatenform in Normalenform
Aus der Koordinatengleichung $E : ax_1 + bx_2 + cx_3 + d = 0$ liest Du den Normalenvektor $ \vec n = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} $ ab.
Einen Stützvektor $ \vec n = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} $ bekommst Du, indem Du $p_1$, $p_2$ und $p_3$ so wählst, dass die Gleichung $E : ap_1 + bp_2 + cp_3 + d = 0$ erfüllt ist.
Das geht am einfachsten, wenn Du zwei Koordinaten frei wählst. Die dritte Koordinate erhältst Du dann durch Auflösen der Gleichung.
Beispiel
Die Ebene mit der Koordinatenform $ E : -2x_1 + x_2 + 6x_3 - 5 = 0 $ hat den Normalenvektor $ \vec n = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} $ und für $ p_1 = p_3 = 0 $ erhält man aus der Gleichung $ p_2 = 5$.
Die Normalenform für $E$ sieht dann so aus: $$ E : \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} \bullet \left[\vec x - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
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