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Wellenfunktion und Schrödinger-Gleichung

Definition und Formel: Wellengleichung

Definition und Formel: Schrödingergleichung

 

 

Definition und Formel: Wellengleichung

Elektronen unterliegen wie Phononen dem Welle-Teilchen-Dualismus. Dadurch verlieren quantenmechanisch die definierten Bahnen um den Atomkern ihre Gültigkeit. Eine exakte Ortsbestimmung ist nicht mehr möglich. Um den Zustand dieses Elementarteilchens oder eines Systems aus Elementarteilchen quantenmechanisch zu beschreiben wird die Wellenfunktion $\Psi$ benutzt.

Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Nehmen wir an, dass $\mid\psi(x,t)\mid^2$ die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens am Ort x zu der Zeit t bestimmt (Wahrscheinlichkeitsdichte).
Dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen zwischen a und b (schraffierter Bereich in Abbildung) aus dem Integral: $$W=\int_a^b\mid\psi(x,t)\mid^2dx$$
Welche Eigenschaften hat diese Wellenfunktion $\Psi$?

  • Die Wellenfunktion ist stetig und eineindeutig
  • Die Ableitungen der Wellenfunktion sind stetig und eineindeutig
  • Normierung der Wellenfunktion: besitzt das Teilchen eine gültige Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte, dann gilt: die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen an einem Ort im Raum befindet = 1. $$\int\mid\psi\mid^2dV=1$$

Die Wellenlänge der Teilchen ergibt sich aus dem Impuls und wird als de-Broglie-Wellenlänge bezeichnet: $$p=mv=mc=\frac{h}{\lambda c}c\rightarrow p=\frac{h}{\lambda}$$

 

 

Definition und Formel: Schrödingergleichung

Schrödinger entwickelte daraufhin eine lineare Differentialgleichung für freie Elektronen. Diese wird als eindimensionale, zeitunabhängige (stationäre) Schrödingergleichung bezeichnet: $$\Psi''(x)+\frac{8\pi^2m_e}{h^2}(W_{ges}-W_{pot})\Psi(x)=0$$ Es existieren in der Lietratur mehrere Schreibweisen, z.B.: $$-\frac{\hbar^2}{2m_e}\frac{\partial^2\Psi(x)}{\partial x^2}+W_{pot}\Psi(x)=W_{ges}\Psi(x)$$ $W_{ges}$ - Gesamtenergie des Elektrons
$W_{pot}$ - potentielle Energie des Elektrons
$\Psi(x)$ - Wellenfunktion des Elektrons

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