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Welle-Teilchen-Dualismus

Definition und Formel: Welle-Teilchen-Dualismus

Beispiel Übungsaufgabe: Masse eines Photons

Beispiel Übungsaufgabe: Heisenberg'sche Unschärferelation

 

 

Definition und Formel: Welle-Teilchen-Dualismus

Merke

Beschreibung von Quantenobjekten:

  • Wellencharakter: Ausbreitung der Energie im Raum
    z.B. Doppelspaltexperiment, Elektronenbeugung
  • Teilchencharakter: Adsorption oder Emission
    z.B. Wechselwirkung von Elektronen/Photonen mit Materie

Das hat Auswirkungen in Form der Heisenberg'schen Unschärferelation:

  • Ort und Impuls eines Teilchens sind nicht gleichzeitig beliebig genau messbar
  • wird eine Größe gemessen, wird die andere automatisch gestört

Ungleichungen:

  1. bezüglich Ort und Impuls (gilt für jede Raumkoordinate separat): $$\Delta x\cdot\Delta p_x\ge \frac{h}{2\pi}$$ $\Delta x$ - Unsicherheit in der Angabe des Ortes x
    $\Delta p_x$ - Unsicherheit in der Angabe des Impulses $p_x$
    $h$ - Planck'sches Wirkumsquantum
  2. Bezüglich bestimmter Energie und Beobachtungsdauer: $$\Delta E\cdot\Delta t\ge \frac{h}{2\pi}$$ $\Delta E$ - Genauigkeit mit der die Energie der Teilchen bestimmt wurde
    $\Delta t$ - Dauer eines Vorgangs

 

 

Beispiel Übungsaufgabe: Masse eines Photons

Beispiel

Gesucht ist die Masse eines Photons

  1. von roten Lichtstrahlen ($\lambda=7\cdot10^{-7}$ m)
  2. von Röntgenstrahlen ($\lambda=2,5\cdot10^{-11}$ m)
  3. von $\gamma$-Strahlung ($\lambda=1,24\cdot10^{-12}$ m)

 

Lösung
Die Masse eines Photons berechnet sich aus seiner Frequenz, der Vakuumlichtgeschwindigkeit und dem Plank'schen Wirkumsquantum. $$m_{ph}=\frac{h\cdot\nu}{c^2}=\frac{h}{c\cdot\lambda}$$ damit ergibt sich für die einzelnen Photonen: $$m_{ph,rot}=\frac{6,26\cdot10^{-34}\text{ Js}}{3\cdot10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot7\cdot10^{-7}\text{ m}}=3,2\cdot10^{-36}\text{ kg}\\ m_{ph,roent}=8,8\cdot10^{-32}\text{ kg}\\ m_{ph,\gamma}=1,8\cdot10^{-30}\text{ kg}$$

 

Beispiel Übungsaufgabe: Heisenberg'sche Unschärferelation

Beispiel

Der Ort eines Körpers mit der Masse $m=0,2$ kg wird mit Hilfe grünen Lichtes bis auf dessen Wellenlänge $\lambda=5,5\cdot10^{-7}$ m genau ermittelt. Berechnen Sie die Mindestunschärfe $\Delta v$ der Geschwindigkeit.

 

Lösung
Der Impuls eines Teilchens ergibt sich aus $p=m\cdot v$. Die Unschärfe des Ortes ist hier gegeben durch die Wellenlänge. Daraus folgt: $$\Delta x\cdot\Delta p\ge\frac{h}{2\pi}\\ \rightarrow\quad\lambda\cdot m\Delta v\ge \frac{h}{2\pi}$$ $$\Delta v\ge \frac{h}{2\pi\cdot m\cdot\lambda}=\frac{6,626\cdot10^{-34}\text{ Js}}{2\pi\cdot0,2\text{ kg}\cdot5,5\cdot10^{-7}\text{ m}}\\ \Delta v\ge 9,6\cdot10^{-28}\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx10^{-27}\frac{\text{m}}{\text{s}}$$

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