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Mathematische Beschreibung harmonischer Schwingungen

Definition und Formel: Harmonische Schwingungen

Definition und Formel: das Fadenpendel

Definition und Formel: das Federpendel

Definition und Formel: das Wasserpendel

Beispiel Übungsaufgabe: Schwingungen im U–Rohr

 

 

Definition und Formel: Harmonische Schwingungen

Merke

Mechanische Schwingungen beschreiben ganz abstrakt ausgedrückt die zeitlich periodische änderung einer physikalischen Größe. Das bedeutet dass jeder Sachverhalt der sich gleichschnell wiederholt, und ein bestimmter Wert in diesem Zeitraum verändert wird eine Schwingung ist. Hier 2 Beispiele für eine mechanische Schwingung im Alltag:

Federpendel
Federpendel

Mathemathische Beschreibung harmonischer Schwingungen:
Oben erklärt wirkt das Prinzip der mechanischen Schwingungen schon viel anschaulicher. Doch leider lässt sich mit anschaulichen Erklärungen nicht rechnen. Deswegen entschieden die modernen Physiker schon früh Schwingungen mathematisch zu beschreiben, um mit ihnen die verschiedensten Phänomene zu erklären. Es hat sich allgemein der Lösungsansatz etabliert das man die Rückstellkraft $F_R$ der Schwingung in zwei verschiedenen Formeln auszurechnen:

Schaukel
Schaukel

  1. $F_R=m\cdot a(t)$
    $m$ - Masse
    $a(t)$ - Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
  2. $F_R=D\cdot s(t)$
    $D$ - Federkonstante
    $s(t)$ - Strecke in Abhängigkeit von der Zeit

Wenn man diese Gleichungen auflöst ergibt sich das die erste Ableitung $\dot s(t)=v(t)$ (Geschwindigkeit abhängig von der Zeit), die erste Ableitung $\dot v(t)=a(t)$ ist. Daraus folgt das die zweite Ableitung $\ddot s(t)=a(t)$ ist. Das klingt ziemlich unübersichtlich zusammengefasst ergeben sich jedoch die wichtigsten Gleichungen der mechanischen Schwingungen.
Es handelt sich um diese 3 Funktionen: $$s(t)=\hat s\cdot\sin(\omega\cdot t+\varphi)$$ $$\dot s(t)=\hat s \cdot\omega\cdot\cos(\omega\cdot t+\varphi)=v(t)$$ $$\ddot s(t)= -\hat s \cdot\omega^2\cdot\sin(\omega\cdot t+\varphi)= a(t)$$ $\varphi$ - Phasenverschiebung
$\omega=\frac{2\cdot\pi}{T}$ - Kreisfrequenz
Wenn man diese 3 Formeln wieder umformt so ergibt sich die Formel für die Schwingungsdauer $T$: $$T=2\cdot\pi\sqrt\frac{m}{D}$$

 

Definition und Formel: das Fadenpendel

Merke

Bei einem Fadenpendel wirken die verschiedensten Kräfte und Kraftarten, doch wenn man diese alle zusammenfasst ergibt sich eine harmonische Schwingung. Bei einem Fadenpendel wirkt bei einer Masse immer eine Kraft $F_A$ in der Verlängerung des Fadens. Sie ist die Reactio der Zentripetalkraft $F_Z$, die den Körper (kann alles sein, Gewicht, Kugel etc.) auf seiner Kreisbahn hält. Zusätzlich greift jederzeit die Schwerkraft $F_g$ am Körper an. Mithilfe eines Kräfteparallelogramms kann man die Schwerkraft nun zerlegen und erhält einerseits $F_A$, andererseits die Rückstellkraft $F_R$. So ergibt sich diese Zeichnung:

Fadenpendel mit angetragenen Kräften
Fadenpendel mit angetragenen Kräften

Wenn man alle oben genannten Faktoren berücksichtigt ergibt sich folgende Formel für das Fadenpendel: $$D=\frac{m\cdot g}{l}$$

Kräfteparallelogramm eines Fadenpendels
Kräfteparallelogramm eines Fadenpendels

 

Definition und Formel: das Federpendel

Merke

Das Federpendel lässt sich um einiges simpler beschreiben als das Fadenpendel. Bei einem Federpendel hängt an einer Feder mit der Federhärte $D$ ein Schwingkörper der Masse $m$. Die Ruhelage dieses Systems ist dann erreicht, wenn die Kraft, mit der die Feder am Schwingkörper zieht $F_F$ so groß ist, wie die Schwerkraft $F_g$. Mit Hilfe des Hook'sche Gesetzes $D =\frac{F}{s}$ ergibt sich: $$F_F=D\cdot s=-F_g\quad\rightarrow\quad s_0=-\frac{m\cdot g}{D}$$

Federpendel
Federpendel

 

Definition und Formel: das Wasserpendel

Merke

Das Wasserpendel, auch U–Rohr genannt ist eine sehr beliebte Physikschulaufgabe. Die Erklärung für das dieses System geht sehr in die Tiefe deswegen wird es kurz gehalten.
Ein Wasserpendel besteht aus einem U–Rohr mit dem konstanten Querschnitt $A$ in das Wasser der Masse $m$ mit einer bestimmten Dichte gefüllt wird. Die Wasseroberflächen in den beiden Rohrteilen stehen einander gegenüber und die Wassersäule hat insgesamt die Höhe $2 h_0$, weil $h_0$ die (gebogene) Strecke vom unteren Rohrmittelpunkt bis zu einem der Wasserspiegel ist. Die Schwingung mit der Elongation $s(t)$ schwingt um diesen Pegelstand. Daraus ergeben sich jeweils 2 Formeln die vollkommen ausreichen um so ein System zu berechnen: $$F_R=-2\cdot g\cdot\rho\cdot A\cdot s(t)$$ $$D=2\cdot g\cdot\rho\cdot A$$

Wasserpendel
Wasserpendel

 

Beispiel Übungsaufgabe: Schwingungen im U–Rohr

Beispiel

In einem U–Rohr aus Glas bfindet sich Qeucksilber, Infolge eines Überdrucks auf der verschlossenen Seite ist die Flüssigkeit auf beiden Seiten um den Betrag $x_m=3,5\text{ cm}$ von der Ruhelage $X=0$ entfernt. Zur Zeit $t=0$ wird der Verschluss geöffnet, und die Quecksilbersäule (Länge $l=34,2\text{ cm}$) beginnt zu schwingen.

a) Stellen Sie die Bescherungsgleichung auf und leiten Sie daraus die Formel für die Schwingungsdauer $T$ der Quecksilbersäule ab.

b) Welche maximale Geschwindigkeit $v_{xm}$ hat die Säule?

c) Wie groß ist die Beschleunigung $a_{xo}$ zur Zeit $t=0$?

d) Wie groß ist die Beschleunigung $a_{x1}$ zur Zeit $t=\frac{T}{4}$?

Darstellung des U-Rohrs mit verschobenem Flüssigkeitsspiegel
Darstellung des U-Rohrs mit verschobenem Flüssigkeitsspiegel

Lösung:
a) Die Rückstellkraft für ein U–Rohr ist: $$F_R=-2\cdot g\cdot\rho\cdot A\cdot x$$ wobei $A$ der Rohrquerschnitt, $x$ die Amplitude und $\rho$ die Dichte des verwendeten Mediums ist. Allgemein lässt sich die Rückstellkraft auch wie folgt ausdrücken: $$F_R=m\cdot \ddot x=\rho\cdot V\cdot a\quad\quad\rightarrow\quad\quad \rho\cdot V\cdot \ddot x=-2\cdot g\cdot\rho\cdot A\cdot x$$ $$\Rightarrow\quad\quad \ddot x+ 2\frac{g}{l}x=0$$ Vergleichen ir das mit der Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung $\ddot s(t)+\omega_o^2 \cdot s(t)=0$, sehen wir dass: $$\omega_o^2=2\frac{g}{l}$$ Damit ergibt sich die Schwingungsdauer zu: $$T=\frac{2\pi}{\omega_o}=2\pi\sqrt{\frac{l}{2g}}=2\pi\sqrt{\frac{0,342\text{ m}}{2\cdot9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}=0,83\text{ s}$$

b) Wir stellen das Zei–Weg–Gesetz mit Hilfe der Kosinusfunktion auf, da zum Zeitpunkt $t=0$ die Flüssigkeit maximal ausgelenkt ist. Da wir wissen, dass $v=\dot x$ ist, ergibt sich: $$x=x_m\cdot cos(\omega_o t)$$ $$v=-x_m\omega_o\cdot sin(\omega_o t)$$ Die maximale Geschwindigkeit ist gegeben, wenn $cos(\omega_o t)=1$: $$\Rightarrow\quad\quad v_m=x_m\omega_o=x_m\sqrt{\frac{2g}{l}}=0,035\text{ m}\sqrt{\frac{2\cdot9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{0,342\text{ m}}}=0,27\frac{\text{m}}{\text{s}}$$

c) Für die Beschleunigung leiten wir ein zweites mal ab: $$a_x=\ddot x=-\omega_o^2x_m\cdot cos(\omega_o t)$$ Damit ergibt sich für die Beschleunigung zum Zeitpunkt $t=0$: $$a_{xo}=-\omega_o^2x_m=-2\cdot\frac{g}{l}\cdot x_m=-2\cdot\frac{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{0,342\text{ m}}\cdot0,035\text{ m}=-2,0\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$$

d) Für den Zeitpunkt $t=\frac{T}{4}$ ergibt sich somit: $$a_{x1}=-\omega_o^2x_m\cdot cos(\frac{\pi}{2})=0$$

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