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harmonische Oszillator

Definition und Formel: Harmonischer Oszillator

Beispiel Übungsaufgabe: Auslenkung einer harmonischen Schwingung

 

 

Definition und Formel: Harmonischer Oszillator

Merke
  • physikalisches System, welches eine harmonische Schwingung (sinusförmige Zeitabhängigkeit) ausführt
  • Rückstellkraft dieser Größe in Kombination mit der Trägheit des Systems verursacht Oszillationen
  • z.B. Federpendel (mechanische Oszillatoren), LC–Schwingkreise (elektrische Oszillatoren) oder Gitterschwingungen in einem Festkörper

Quantenmechanische Betrachtung:
Zur Berechnung des Potentials $V(x,t)$ wird die Rückstellkraft $F_k$ benutzt: $$V(x,t)=-\int_{0}^xF(x')dx'=-\int_{0}^x-kx'dx'=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}mw^2x^2$$ $\omega$ – Kreisfrequenz

Darstellung des Potentials
Darstellung des Potentials

V(x) ist unabhängig von der Zeit $\rightarrow$ Betrachtung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung und Einsetzen des Potentials: $$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x)+\frac{mw^2x^2}{2}\Psi(x)=W_{ges}\Psi(x)$$ Um den Grundzustand, niedrigsten Eigenwert, der Funktion zu erhalten, setzen wir: $$\left (\frac{x}{x_0^2} + \frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi_0(x)=0\quad\text{wobei}\quad x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{wm}} \quad\text{die Oszillatoramplitude normiert}$$ Als Lösungsansatz dient: $$\Psi_0(x)=e^{sx^2}\quad\text{mit}\quad s=-\frac{1}{2x_0^2}\\ \Longrightarrow \Psi_0(x)=Ce^{-\frac{1}{2}(\frac{x}{x_0})^2}$$ Unter Berücksichtigung der Normierungsbedingungen ergibt sich als somit als kleinster Eigenwert der Funktion: $$\Psi_0(x)=(\sqrt{\pi}x_0)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x}{x_0})^2}$$ In diesem Zustand besitzt der harmonische Oszillator die Nullpunktsenergie $E=\frac{\hbar w}{2}$.
Das Teilchen ist nicht bei $x=0$ lokalisiert, sondern „verschmiert“ über einen endlichen Bereich (siehe Unschärferelation).

Ort an dem sich das Teilchen befinden kann
Ort an dem sich das Teilchen befinden kann

Die weiteren Eigenfunktionen lauten: $$\psi_n(x)=(n!\sqrt{\pi}x_0)^{-\frac{1}{2}}H_n\left(\frac{x}{x_0}\right)e^{-\frac{1}{2}(\frac{x}{x_0})^2} \quad\text{mit}\quad n\in \mathrm{N}\\ \\ \text{mit den Eigenenergiewerten}\quad E_n=\hbar w\left(n+\frac{1}{2}\right)$$ Wobei $H_n$ das Hermite–Polynom ist und sich ergibt aus: $$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{\partial^n}{\partial x^n}e^{-x^2}$$ Die unten stehende Grafik zeigt die ersten Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators für die Quantenzahlen (a) $n=0$, (b) $n=1$, (c) $n=2$, (d) $n=3$, (e) $n=4$ und (f) $n=5$ als Funktion der Ortskoordinate $x$.

Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators
Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators

Das sind stationäre Zustände = es finden keine Oszillationen statt. Allerdings kann man kohärente Zustände berechnen, die dieselbe Zeitabhängigkeit wie eine klassische Schwingung zeigen.

 

 

Beispiel Übungsaufgabe: Auslenkung einer harmonischen Schwingung

Beispiel

Die Amplitude der harmonischen Schwingungen einer Punktmasse beträgt $x_{max}=2$ cm, die Gesamtenergie $W=3\cdot10^{-7}$ J. Bei welcher Auslenkung aus der Gleichgewichtslage wirkt auf den schwingenden Punkt die Kraft $F=2,25\cdot10^{-5}$ N?

Lösung:
Die Gesamtenergie einer harmonischen Schwingung ergibt sich aus: $$W=\frac{2\pi^2x^2_{max}\cdot m}{T^2}$$ Dei Kraft, die den Körper in Schwingung versetzt, ergibt sich aus: $$F=m\cdot a=\frac{4\pi^2m}{T^2}x$$ Wenn wir nun die beiden Gleichungen in einander einsetzen und nach der Auslenkung x auflösen, ergibt sich: $$x=\frac{F\cdot x^2_{max}}{2W}=\frac{2,25\cdot10^{-5}\text{N}\cdot(0,02\text{ m})^2}{2\cdot3\cdot10^{-7}\text{ J}}=0,015\text{ m}=1,5\text{ cm}$$

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