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Freier Fall

Hier handelt es sich um einen beliebigen Körper mit der Masse $m$ , der aus der Höhe $h$ dem freien Fall ausgesetzt ist, auf der Erde wird jeder Körper mit der gleichen Gewichtskraft $g=9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ angezogen, dann gilt für die Geschwindigkeit $v$ am Aufprallort durch den Energieerhaltungssatz: $$\frac{m}{2}v^2=mgh\quad\Rightarrow\quad|v|=\sqrt{2gh}$$

 

Beispiel

Von einem Luftballon, der sich in 300 m Höhe befindet, fällt ein Stein herab. Nach welcher Zeit erreicht der Stein die Erde, wenn der Luftballon

  • a) mit der Geschwindigkeit von 5 $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ steigt,
  • b) mit der Geschwindigkeit von 5 $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ sinkt,
  • c) unbeweglich ist?

Der Luftwiderstand ist zu vernachlässigen.

Lösung:
Beim freien Fall handelt es sich um eine beschleunigte Bewegung und je nachdem, ob der Luftballon sich bewegt oder nicht, mit bzw. ohne Anfangsgeschwindigkeit. Demnach ergibt sich für die Zeitspanne einer beschleunigten Bewegung: $$s=v_o\cdot t+\frac{a\cdot t^2}{2}\quad\quad\Rightarrow\quad\quad t=-\frac{v_o}{a}+\sqrt{\left(\frac{v_o}{a}\right)^2+\frac{2s}{a}}$$ Da die Zeit nicht negativ sein kann, ergibt sich zwangsläufig das Pluszeichen vor der Wurzel. Setzen wir nun für den jeweiligen Fall ein, ergibt sich

a) $v_o$ ist negativ, da der Luftballon sich in eine entgegengesetzte Richtung zum Stein bewegt. $a$ entspricht der Fallbeschleunigung $g=9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$. $$t=-\frac{-5\frac{\text{m}}{\text{s}}}{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}+\sqrt{\left(\frac{-5\frac{\text{m}}{\text{s}}}{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\right)^2+\frac{2\cdot 300\text{ m}}{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}=8,3\text{ s}$$

b) $v_o$ muss nun positiv sein, da sich Luftballon und Stein in dieselbe Richtung bewegen. $$t=-\frac{5\frac{\text{m}}{\text{s}}}{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}+\sqrt{\left(\frac{5\frac{\text{m}}{\text{s}}}{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\right)^2+\frac{2\cdot 300\text{ m}}{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}=7,3\text{ s}$$

c) Die Gleichung vereinfacht sich, da $v_o$ entfällt: $$t=\sqrt{\frac{2\cdot 300\text{ m}}{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}=7,8\text{ s}$$

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