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Endlicher eindimensionaler Potentialtopf

Endlicher, eindimensionaler Potentialtopf

Gebundene Lösungen

Kontinuumslösungen

 

 

Endlicher, eindimensionaler Potentialtopf

Merke

Das Modell des endlichen, eindimensionalen Potentialtopfs geht über die Näherung des unendlichen, eindimensionalen Potentialtopfs hinaus. Es ermöglicht eine realistische Berechnung der elektronischen Zustände durch die Berücksichtigung des Tunneleffekts.
Wir starten mit der eindimensionalen Schrödingergleichung: $$-\frac{\hbar^2}{2m_e}\frac{\partial^2\Psi(x)}{\partial x^2}+W_{pot}\Psi(x)=W_{ges}\Psi(x)$$ in einem endlichen Potentialtopf: $$W_{pot}(x)=\begin{cases}-W_0 & (|x|\lt \text{a}) \\ 0 & (|x| \gt \text{a}) \end{cases}$$

Skizze des endlichen, eindimensionalen Potentialtopfes
Skizze des endlichen, eindimensionalen Potentialtopfes

Besitzt ein Elektron nicht genug Energie, um aus dem Potentialtopf heraus zu kommen, ergibt sich die Lösung wie im „unendlichen Modell“. Das Elektron ist lokalisiert (= gebundene Lösungen).
Bei einer Energie größer der Tiefe des Potentialtopfes, ist das Elektron delokalisiert (meist als ebene Wellen dargestellt = Kontinuumslösungen).

 

 

Gebundene Lösungen

Energie des Elektrons: $W \lt 0$
Zur Lösung unterteilen wir das Potential in 3 Bereiche, wie in der Grafik zu sehen. Der Bereich II gleicht dem unendlichen Potentialtopf, deshalb widmen wir uns Bereich I und III. Bedingung: eine im Unendlichen verschwindende Wellenfunktion.
Lösungsansatz: asymptotisch gegen Null laufende Exponentialfunktionen $$\Psi_I(x)=A_I\cdot exp(\kappa x)\\ \Psi_{III}(x)=A_{III}\cdot exp(-\kappa x)$$ Setzen wir für Bereich den Ansatz in die Schrödingergleichung ein, ergibt sich: $$\Big\{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Big\}A_Iexp(\kappa x)=-\frac{\hbar^2}{2m}A_I\kappa^2exp(\kappa x)=W\cdot A_Iexp(\kappa x)$$ Und damit ein Zusammenhand zwischen der Energie W des Zustandes und dem Parameter κ (bestimmt räumliche Struktur). $$\kappa = \sqrt{-\frac{2mW}{\hbar^2}}$$ Für Bereich II ergibt sich dieselbe Lösung. Das Minuszeichen verschwindet nach der zweifachen Ableitung. Als Zwischenergebnis ergeben sich unendlich viele Wellenfunktionen: $$\Psi(x)=\begin{cases}A_Iexp(\kappa x) & x\le -a & \kappa^2=-\frac{2mW}{\hbar^2}\\ A^+_{II} exp(jkx) + A^-_{II} exp(-jkx) & -a< x < a & k^2=\frac{2m(W+W_{pot})}{\hbar^2}\\ A_{III}exp(-\kappa x) &x\ge a & \kappa^2=-\frac{2mW}{\hbar^2}\end{cases}$$ Die Wellenfunktion soll an den Rändern der jeweiligen Bereiche stetig sein. Daraus ergeben sich:

  • Symmetrische Lösungen $\rightarrow$ $\Psi$ ist cosinusartig; existiert unabhängig von Potentialtopftiefe $$u(x)=\begin{cases} A\cdot cos(k_i x) & |x|\le a \\ A\cdot cos(k_i a)\cdot exp(\kappa_i(a-|x|)) &|x|>a \end{cases}$$
  • Asymmetrische Lösungen $\rightarrow\quad\Psi$ ist sinusartig; existiert erst an gewisser Mindesttiefe $$u_2(x)=\begin{cases} B\cdot sin(k_i x) & |x|\le a \\ B\cdot sin(k_i a)\cdot exp(\kappa_i(a-|x|)) &|x|>a \\ -B\cdot sin(\kappa_i a)\cdot exp(\kappa_i(a-|x|)) &|x|<-a\end{cases}$$

Darstellung von zwei Lösungen der Wellengleichung
Darstellung von zwei Lösungen der Wellengleichung

Erkenntnisse:

  • Aufgrund der Stetigkeitsbedingung nur Lösungen für diskrete Energieniveaus
  • Wellenfunktion verschwindet nicht außerhalb des Potentialtopfes $\rightarrow$ mit gewisser Wahrscheinlichkeit tunneln Elektronen in verbotenen Außenbereich
  • endlich viele gebundene Zustände im symmetrischen Potentialtopf (mindestens jedoch ein symmetrischer)

Kontinuumslösungen

Energie des Elektrons: $W > 0$
Es ergibt sich eine Wellenfunktion mit echtem Wellencharakter über alle Bereiche, mit unterschiedlichen Wellenvektoren: $$k_I^2=\frac{2mW}{\hbar^2}\\ k_{II}^2=\frac{2m(W+W_{pot})}{\hbar^2}\\ k_{III}^2=\frac{2mW}{\hbar^2}$$

Darstellung der Kontinuumslösungen
Darstellung der Kontinuumslösungen

Konkrete Lösungen hängen von den Randbedingungen ab (z.B. von welcher Seite das Elektron kommt, Transmissions- und Reflexionskoeffizienten). Qualitativ lassen sich die Wellen aber wie in der nebenstehenden Grafik veranschaulichen. Im Bereich des Potentialtopfs ist die Wellenzahl größer, demnach sinkt die Wellenlänge.

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