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Eindimensionaler Potentialtopf

Zur Lösung der Schrödingergleichung nehmen wir eine "Topf" mit den Grenzen 0 und $a$ an, zu sehen in der nebenstehenden Grafik.

Abbildung der Gegenfeldmethode
Skizze des Potentialtopfmodells

Nehmen wir weiterhin an, dass innerhalb des Topfes $W_{pot}=0$ und außerhalb $W_{pot}=\infty$ gilt, so ergibt sich für die Schrödingergleichung: $$\Psi''(x)+\frac{8\pi^2m_e}{h^2}W_{kin}\Psi(x)=0$$ Die Lösung der Differentialgleichung ist: $$\Psi(x)=C\cdot sin(k a)\quad \text{mit}\quad k=\frac{\pi}{h}\sqrt{8m_e\cdot W_{kin}}$$ Für das Elektron ist nur ein Aufenthalt im Inneren des Topfes erlaubt. Die Stetigkeit muss damit auch an den Grenzen $\Psi=0$ gelten. Für $x=0$ ist dies immer erfüllt. Für $x=a$ ergibt sich: $$C\cdot sin(k a)=0 \implies sin(k a)=0 \implies k a=n\pi \quad \text{mit}\quad n=1,2,3,...$$

 

 

Für die kinetische Energie bedeutet das: $$W_{kin}=\frac{h^2}{8m_ea^2}n^2 \quad \text{mit} \quad n=1,2,3,...$$ Demnach existieren nur ganz bestimmte Energiewerte, vorgegeben durch die Quantenzahl n. Gebundenen Elektronen befinden sich in einem Potentialtopf also immer auf diskreten Energieniveaus. Wenn die Größe des Potentialtopfes (a) abnimmt, wird die kinetische Energie des Elektrons umso größer, man spricht von Lokalisationsenergie.

Um die Amplitude C zu bestimmen, gehen wir davon aus, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für ein Elektron irgendwo im Topf 1 sein muss. $$\int^a_0\Psi^2(x)dx=1 \iff \int^a_0 C^2\cdot sin(kx)dx=1 \iff C^2\frac{1}{k}\Big|\frac{1}{2}(kx-sin(kx)cos(kx))\Big|^a_0=1 \iff C=\sqrt\frac{2}{a}$$

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