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Dreidimensionaler Potentialtopf

Merke

Der dreidimensionale Potentialtopf ist eine erste Näherung an das quantenmechanische "Modell–Atom". Dazu wird die, für einen unendlich hohen Potentialtopf geltende, eindimensionale Schrödingergleichung erweitert. Da alle drei Koordinaten gleichberechtiget sind: $$K_{kin}=E_{kin,x}+E_{kin,y}+E_{kin,z} $$ Ergibt sich für den Operator: $$Ê_{kin}=-\frac{\hbar^2}{2m_e}(\frac{d^2}{dx^2}+\frac{d^2}{dy^2}+\frac{d^2}{dz^2})$$ Daraus ergibt sich für die Schrödingergleichung: $$\Big[-\frac{\hbar^2}{2m_e}(\frac{d^2}{dx^2}+\frac{d^2}{dy^2}+\frac{d^2}{dz^2})+W_{pot}(x,y,z)\Big]\Psi(x,y,z)=W_{ges}\Psi(x,y,z)$$ Im Topf ist das Potential konstant, deshalb ist das Produkt der Lösungen für den eindimensionalen Potentialtopf der sinnvolle Ansatz. Daraus ergibt sich für die Schrödingergleichung: $$\Big[-\frac{\hbar^2}{2m_e}(-\frac{n^2_x\pi^2}{a^2}+\frac{n^2_y\pi^2}{a^2}+\frac{n^2_z\pi^2}{a^2})\Big]\Psi_{n_x n_y n_z}(x,y,z)=W_{ges}\Psi_{n_x n_y n_z}(x,y,z)$$ Mit $E_{ges}=\frac{\hbar^2\pi^2}{2m_ea^2}(n^2_x+n^2_y+n^2_z)+W_{pot}$ und $(n_x, n_y, n_z=1,2,3,...)$

Darstellung der möglichen Energieniveaus
Darstellung der möglichen Energieniveaus

Daraus ergeben sich die möglichen Energien für den dreidimensionalen Potentialtopf mit drei Quantenzahlen $n_x$, $n_y$ und $n_z$. Diese können unabhängig voneinander jeden möglichen Wert im Bereich der natürlichen Zahlen einnehmen.
Die nebenstehende Grafik zeigt mögliche übergänge zwischen den erhalten Energieniveaus.

 

 

Der Grundzustand ergibt sich aus $n_x=n_y=n_z=1$. Das nächst höhere Energieniveau besitzt drei Zustände, die energetisch gleich sind, jedoch teilweise unterschiedliche Quantenzahlen besitzen. Die Wahrscheinlichkeitsdichte des jeweiligen Zustandes pro Energieniveau entspricht den aus Chemie bekannten Orbitalen. Wir haben also durch die Lösung der Schrödingergleichung für den dreidimensionalen Potentialtopf die Bereiche beschrieben, in denen sich das Elektron am wahrscheinlichsten aufhält.

Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte des jeweiligen Energiezustandes
Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte des jeweiligen Energiezustandes

In der Abbildung sind die jeweiligen Wahrscheinlichkeitsdichten für die Quantenzahlen aufgeführt: $$(1)\quad n_x=1\quad n_y=1\quad n_z=1$$ $$(2)\quad n_x=1\quad n_y=1\quad n_z=2$$ $$(3)\quad n_x=1\quad n_y=2\quad n_z=1$$ $$(4)\quad n_x=2\quad n_y=1\quad n_z=1$$

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