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Der Impuls

Der "Impuls" - was ist das?

Der Bewegungszustand eines Körpers wird neben seiner Geschwindigkeit auch durch seine Masse beschrieben. Der Impuls eines Körpers jedoch kennzeichnet die Wucht, die dieser Körper bei einer geradlinigen, kreisförmigen oder zusammengesetzten Bewegung hat. Das beschreibt sozusagen die Explosivität.

Der Impuls $p$ eines Körpers ist gleich dem Produkt aus seiner Masse $m$ und seiner Geschwindigkeit $v$: $$\vec p=m\cdot\vec v$$

Der Impulserhaltungssatz = Energieerhaltungssatz?

Ein abgeschlossenes System(das bedeutet ein System das keinen Energie- oder Stoffaustausch mit der Umgebung hat), besitzt immer einen Gesamtimpuls der sich aus der Summer der Einzelimpulse ergibt. Dieser Gesamtimpuls ist stets konstant und ändert sich nie. Neben dem Energieerhaltungssatz ist der Impulserhaltungssatz einer der wichtigsten Erhaltungssätze der Physik und dient dazu, auch sehr komplizierte Sachverhalte zu lösen: $$\vec p_{ges}=\sum_{i=1}^n m_i\cdot\vec v_i=m_1\cdot\vec v_1 + m_2\cdot\vec v_2 + ... +m_n\cdot\vec v_n$$

 

Beispiel

Zwei aneinandergekoppelte Fahrzeuge mit den Massen $m_1$ und $m_2$ ($m_1=m_2=500\text{ kg}$) bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit $v_0=1\frac{\text{m}}{\text{s}}$ auf einer geraden Bahn. Zwischen den beiden Fahrzeugen befindet sich eine (nicht befestigte) um die Länge $x=0,3\text{ m}$ zusammengedrückte Feder mit der Federkonstante $k=40\frac{\text{kN}}{\text{m}}$. Nach Lösen der Kopplung entspannt sich die Feder.

Mit einer Feder gekoppelte Fahrzeuge
Mit einer Feder gekoppelte Fahrzeuge

  • a) Welche Geschwindigkeit $v_1$ und $v_2$ besitzen demnach die beiden Fahrzeuge? (Man betrachte Energie und Impuls in einem System, das sich mit dem Schwerpunkt bewegt)
  • b) Es sei $m_1=m_2$ sowie $v_1=0$. Wie groß ist dann $v_2$, und um welche Länge $x$ war die Feder gespannt? Wo ist die Energie des zur Ruhe gekommenen Fahrzeugs geblieben?

Lösung:
a) Zur Vereinfachung betrachten wir das Bezugssystem als bewegt an:
Impulssatz: $$0=m_1v_1'+m_2v_2'\quad\Rightarrow\quad v_2'=-\frac{m_1}{m_2}v_1'$$
Energiesatz: $$\frac{k}{2}x^2=\frac{m_1}{2}v_1'^2+\frac{m_2}{2}v_2'^2$$ $$\frac{k}{2}x^2=\frac{m_1}{2}v_1'^2+\frac{m_1}{2m_2}v_1'^2\quad\Rightarrow\quad v_1'^2=\frac{x^2k}{m_1(1+\frac{m_1}{m_2})}$$ Wir lösen für beide Geschwindigkeiten $v_1'$ und $v_2'$, legen die Vorzeichen fest und stellen ein wenig um: $$v_1'=-\sqrt{\frac{m_2k}{m_1(m_2+m_1)}}x\quad\quad\quad v_2'=+\sqrt{\frac{m_1k}{m_2(m_1+m_2)}}x$$ Durch eine einfache Addition von $v_0$ wandeln wir das bewegte System in ein ruhendes um: $$v_1=v_0-\sqrt{\frac{m_2k}{m_1(m_2+m_1)}}x\quad\quad\quad v_2=v_0+\sqrt{\frac{m_1k}{m_2(m_1+m_2)}}x$$ $$v_1=1\frac{\text{m}}{\text{s}}-\sqrt{\frac{500\text{ kg}\cdot40\frac{\text{kN}}{\text{m}}}{500000\text{ kg}}}0,3\text{ m}=-5,3\frac{\text{m}}{\text{s}}\quad\quad\quad v_2=1\frac{\text{m}}{\text{s}}-\sqrt{\frac{500\text{ kg}\cdot40\frac{\text{kN}}{\text{m}}}{500000\text{ kg}}}0,3\text{ m}=7,3\frac{\text{m}}{\text{s}}$$

b) Wie nehmen die Gleichungen aus Teilaufgabe a) für die Geschwindigkeiten $v_1$ und $v_2$ und erhalten: $$0=v_0-\sqrt{\frac{k}{2m_1}}x\quad\quad\quad v_2=v_0+\sqrt{\frac{k}{2m_1}}x$$ Damit ergibt sich für $x$ und $v_2$: $$x=v_0\sqrt{\frac{2m_1}{k}}=1\frac{\text{m}}{\text{s}}\sqrt{\frac{2\cdot500\text{ kg}}{40\frac{\text{kN}}{\text{m}}}}=0,16\text{ m}$$ $$v_2=2v_0=2,00\frac{\text{m}}{\text{s}}$$ Die Energie ist komplett auf das bewegte Fahrzeug übergegangen.

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