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Der Drehimpuls

Der "Drehimpuls" - Gegenstück des Impulses

Der Impuls war die "Wucht" der Translationsbewegungen (also der geradlinigen, zusammengesetzten, etc.) doch was ist wenn eine Rotationsbewegung herrscht? Kann der Impuls noch verwendet werden oder nicht? Die Antwort ist nein und ja, der klassische Impuls kann nicht verwendet werden doch eine Abwandlung des Impulses schon, der Drehimpuls. Der Drehimpuls eines Körpers ist von seinem Trägheitsmoment und von seiner Winkelgeschwindigkeit abhängig und kennzeichnet die Wucht, die dieser Körper bei einer Rotationsbewegung aufweist.

Der Drehimpuls $L$ enes Körpers ist gleich dem Produkt aus seinem Trägheitsmoment $J$ und seiner Winkelgeschwindigkeit $w$: $$\vec L=J\cdot\vec w$$

Beispiel

Zwei aneinandergekoppelte Fahrzeuge mit den Massen $m_1$ und $m_2$ ($m_1=m_2=500\text{ kg}$) bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit $v_0=1\frac{\text{m}}{\text{s}}$ auf einer geraden Bahn. Zwischen den beiden Fahrzeugen befindet sich eine (nicht befestigte) um die Länge $x=0,3\text{ m}$ zusammengedrückte Feder mit der Federkonstante $k=40\frac{\text{kN}}{\text{m}}$. Nach Lösen der Kopplung entspannt sich die Feder.

Mit einer Feder gekoppelte Fahrzeuge
Mit einer Feder gekoppelte Fahrzeuge

  • a) Welche Geschwindigkeit $v_1$ und $v_2$ besitzen demnach die beiden Fahrzeuge? (Man betrachte Energie und Impuls in einem System, das sich mit dem Schwerpunkt bewegt)
  • b) Es sei $m_1=m_2$ sowie $v_1=0$. Wie groß ist dann $v_2$, und um welche Länge $x$ war die Feder gespannt? Wo ist die Energie des zur Ruhe gekommenen Fahrzeugs geblieben?

Lösung:
a) Zur Vereinfachung betrachten wir das Bezugssystem als bewegt an:
Impulssatz: $$0=m_1v_1'+m_2v_2'\quad\Rightarrow\quad v_2'=-\frac{m_1}{m_2}v_1'$$
Energiesatz: $$\frac{k}{2}x^2=\frac{m_1}{2}v_1'^2+\frac{m_2}{2}v_2'^2$$ $$\frac{k}{2}x^2=\frac{m_1}{2}v_1'^2+\frac{m_1}{2m_2}v_1'^2\quad\Rightarrow\quad v_1'^2=\frac{x^2k}{m_1(1+\frac{m_1}{m_2})}$$ Wir lösen für beide Geschwindigkeiten $v_1'$ und $v_2'$, legen die Vorzeichen fest und stellen ein wenig um: $$v_1'=-\sqrt{\frac{m_2k}{m_1(m_2+m_1)}}x\quad\quad\quad v_2'=+\sqrt{\frac{m_1k}{m_2(m_1+m_2)}}x$$ Durch eine einfache Addition von $v_0$ wandeln wir das bewegte System in ein ruhendes um: $$v_1=v_0-\sqrt{\frac{m_2k}{m_1(m_2+m_1)}}x\quad\quad\quad v_2=v_0+\sqrt{\frac{m_1k}{m_2(m_1+m_2)}}x$$ $$v_1=1\frac{\text{m}}{\text{s}}-\sqrt{\frac{500\text{ kg}\cdot40\frac{\text{kN}}{\text{m}}}{500000\text{ kg}}}0,3\text{ m}=-5,3\frac{\text{m}}{\text{s}}\quad\quad\quad v_2=1\frac{\text{m}}{\text{s}}-\sqrt{\frac{500\text{ kg}\cdot40\frac{\text{kN}}{\text{m}}}{500000\text{ kg}}}0,3\text{ m}=7,3\frac{\text{m}}{\text{s}}$$

b) Wie nehmen die Gleichungen aus Teilaufgabe a) für die Geschwindigkeiten $v_1$ und $v_2$ und erhalten: $$0=v_0-\sqrt{\frac{k}{2m_1}}x\quad\quad\quad v_2=v_0+\sqrt{\frac{k}{2m_1}}x$$ Damit ergibt sich für $x$ und $v_2$: $$x=v_0\sqrt{\frac{2m_1}{k}}=1\frac{\text{m}}{\text{s}}\sqrt{\frac{2\cdot500\text{ kg}}{40\frac{\text{kN}}{\text{m}}}}=0,16\text{ m}$$ $$v_2=2v_0=2,00\frac{\text{m}}{\text{s}}$$ Die Energie ist komplett auf das bewegte Fahrzeug übergegangen.

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