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De-Broglie-Materiewellen

Definition und Formel: De-Broglie Wellenlänge

Beispiel Übungsaufgabe: De-Broglie Wellenlänge von $\alpha$-Teilchen

 

 

Definition und Formel: De-Broglie Wellenlänge

Merke

Elektronenbeugungsröhre:

  • Beweise für Beugung und Interferenz von Elektronen
  • e$^-$treten aus Glühkatode aus und werden mit $U_B$ beschleunigt
  • beim Auftreffen auf Grafitfolie wird der e$^-$–Strahl entsprechend der Bragg–Reflexion gebeugt
  • Ergebnis: Beugungsringe auf dem Leuchtschirm

Ein Experiment mit Doppelspalt und e$^-$ - Strahl führt ebenfalls zu Interferenzmustern. Damit sind Elektronen Quantenobjekte und besitzen eine Wellenlänge: $$\lambda=\frac{h}{p}$$ $h$ – Planck'sches Wirkungsquantum
$p$ – Impuls

Elektronenbeugungsröhre mit Beugungsringen
Elektronenbeugungsröhre mit Beugungsringen

Um die de-Broglie-Wellenlänge des Elektrons zu erhalten, setzen wir seine kinetische Energie gleich mit der elektrischen Energie (Beschleunigungsspannung): $$E_{kin}=E_{el}\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{2}mv^2=eU_B\Longrightarrow v=\sqrt{\frac{2eU_B}{m}}\\ \text{daraus ergibt sich}\\ \lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}=\frac{h}{\sqrt{2meU_B}}$$
Demnach haben alle Objekte mit Ruhemasse Teilchen- und Wellencharakter, z. B. Elektronen, Protonen, Sandkörner…
Bei großen Objekten ist eine Interferenz allerdings nur theoretisch möglich, da im Doppelspalt- oder Gitterversuch der Spalt extrem klein sein müsste.

 

 

Beispiel Übungsaufgabe: De-Broglie Wellenlänge von $\alpha$-Teilchen

Beispiel

Aus Radium entsteht durch $\alpha$-Zerfall Radon nach folgender Gleichung: $$^{226}_{88}Ra\rightarrow^{222}_{86}Rn+^4_2He.$$ Die $\alpha$-Teilchen haben die Geschwindigkeit $1,51\cdot10^9\frac{\text{m}}{\text{s}}$.
Wie groß ist ihre De-Broglie Wellenlänge und ihre Energie?

 

Lösung
Die Wellenlänge des $\alpha$-Teilchens ergibt sich aus: $$\lambda=\frac{h}{mv}$$ Die Masse so eines Teilchen beträgt $m=6,64\cdot10^{-27}$ kg, lässt sich aber einfach errechnen mit Hilfe der Protonen und Neutronen ($m=2m_p+2m_n$). Die Wellenlänge beträgt also: $$\lambda=\frac{6,63\cdot10^{-34}\text{ Js}}{6,64\cdot10^{-27}\text{ kg}\cdot1,51\cdot10^9\frac{\text{m}}{\text{s}}}=6,6\cdot10^{-17}\text{ m}$$ Die Energie des Teilchens ist: $$E=\frac{h\cdot c}{\lambda}=\frac{6,63\cdot10^{-34}\text{ Js}\cdot3\cdot10^{8}\frac{\text{m}}{\text{s}}}{6,6\cdot10^{-17}\text{ m}}=3,01\cdot10^{-10}\text{ J}$$

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