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Das Trägheitsmoment

Bei einer normalen Bewegung hängt die änderung des Bewegungszustandes, also abbremsen/beschleunigen, eines Körpers von der wirkenden Kraft und von der Masse des Körpers ab. Die analogen Größen bei der Rotation sind das Drehmoment und das Trägheitsmoment. Das Trägheitsmoment erfüllt die Gleiche Aufgabe wie die Masse, es beschreibt die Trägheit eines Körpers. Berechnet wird sie so: $$\theta=\sum_i r_i^2\Delta m_i=\int \rho(r)r^2dV$$ r – Radius der Kreisbewegung
m – Masse eines Körpers

 

Beispiel

Ein Drehkörper (Trägheitsmoment $J_A=122\text{ kg}\cdot\text{m}^2$) rotiert um eine feste Achse $A$ mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega_0=20\text{ s}^{-1}$. In der Zeit von $t_0=0\text{ s}$ bis $t_1=15\text{ s}$ wird ein Drehmoment $M_A=M_0e^{-ct}$ wirksam (mit $M_0=520\text{ N}\cdot\text{m}$ und $c=1,6\cdot10^{-2}\text{ s}^{-1}$).
Auf welchen Wert $\omega_1$ erhöht sich die Winkelgeschwindigkeit?

Lösung:
$$M_a=J_A\cdot\alpha\quad\quad\text{mit}\quad\quad\alpha=\frac{d\omega}{dt}$$ $$d\omega=\frac{M_A}{J_A}dt=\frac{M_0}{J_A}e^{-ct}dt$$ $$\int_{\omega_0}^{\omega_1}d\omega=\frac{M_0}{J_A}\int_0^{t_1}e^{-ct}dt$$ $$\omega_1-\omega_0=\frac{M_0}{J_A}\left[-\frac{1}{c}e^{-ct}\right]_0^{t_1}$$ $$\omega_1=\omega_0+\frac{M_0}{c\cdot J_A}(1-e^{-ct_1})=20\text{ Hz}+\frac{520\text{ N}\cdot\text{m}}{1,6\cdot10^{-2}\text{ Hz}\cdot122\text{ kg}\cdot\text{m}^2}(1-e^{-1,6\cdot10^{-2}\text{ Hz}\cdot15\text{ s}})=77\text{ Hz}$$

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