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Atomradius des Wasserstoffs

Definition und Formel: Atomradius Wasserstoff - laut Bohrschem Atommodell

Beispiel Übungsaufgabe: Berechnung der Radien und Elektronengeschwindigkeiten

 

 

Definition und Formel: Atomradius Wasserstoff - laut Bohrschem Atommodell

Merke

Niels Bohr entwickelte ein, zu seiner Zeit neuartiges, Atommodell, indem er postulierte:

  • Elektronen umkreisen den Atomkern nur auf bestimmten (= diskreten) Bahnen. Ein Aufenthalt zwischen diesen Energieniveaus ist nicht erlaubt.
    Bezeichnung der Bahnen durch Hauptquantenzahlen n=1, 2, 3, …
  • Elektronen bewegen sich als Welle. Diese Wellenzüge sind nur geschlossen und interferieren nicht wenn gilt: $2\pi r=n \lambda$
  • Jede Bahn entspricht einem Energieniveau: $W(n)=-13,6eV\frac{1}{n^2}$
  • Elektronen geben auf diesen Bahnen keine Energie ab.
  • Übergänge zwischen diesen diskreten Niveaus sind möglich.

Wasserstoff besitzt ein Außenelektron, welches sich im unangeregten Zustand auf der 1. Schale aufhält. Laut Bohr errechnet sich der Radius jeder diskreten Bahn mit: $$r_n=n^2\cdot\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{m_e e^2}$$ $\epsilon_o=8,854\cdot10^{-12}\frac{\text{As}}{\text{Vm}}$ - elektrische Feldkonstante im Vakuum
$\hbar=1,055\cdot10^{-34}\text{ Js}$ - Plank'sche Konstante $h$ geteilt durch $2\pi$
$m_e=9,109\cdot10^{-31}\text{ kg}$ - Masse eines Elektrons
$e=1,602\cdot10^{-19}\text{ C}$ - elektrische Elementarladung

Es gilt für Wasserstoff:$\quad\quad n=1\quad\rightarrow\quad r_1=53\text{ pm}$

 

 

Beispiel Übungsaufgabe: Berechnung der Radii und Elektronengeschwindigkeiten

Beispiel

Gesucht sind

  1. die Radien der ersten 3 Bohrschen Elektronenbahnen
  2. die Geschwindigkeit der Elektronen auf ihnen.

 

Lösung
a) Für die Radien orientieren wir uns an der Formel für diskrete Bahnen und ersetzen das $n$ jeweils durch 1, 2 und 3: $$r_n=n^2\cdot\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{m_e e^2}=n^2\cdot\frac{8,854\cdot10^{-12}\frac{\text{As}}{\text{Vm}}\cdot(1,055\cdot10^{-34}\text{ Js})^2}{9,109\cdot10^{-31}\text{ kg}\cdot(1,602\cdot10^{-19}\text{ As})^2}$$ $$\rightarrow r_1=0,53\cdot10^{-10}\text{ m}$$ $$\quad r_2=2,12\cdot10^{-10}\text{ m}$$ $$\quad r_3=4,77\cdot10^{-10}\text{ m}$$
b) Die Beziehung zwischen Geschwindigkeit eines Elektrons $v_n$ und seiner Bahn $r_n$ besteht in: $$m_ev_nr_n=n\cdot\hbar$$ Somit ergibt sich die Bahngeschwindigkeit mit: $$v_n=n\cdot\frac{\hbar}{m_er_n}=n\cdot\frac{1,055\cdot10^{-34}\text{ Js}}{9,109\cdot10^{-31}\text{ kg}\cdot r_n}$$ $$\rightarrow v_1=2,19\cdot10^{6}\frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$\quad v_2=1,1\cdot10^6\frac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$\quad v_3=7,3\cdot10^5\frac{\text{m}}{\text{s}}$$

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