Skip to content Skip to navigation

Ebene senkrecht zu zwei Ebenen durch einen Punkt

 

Merke
  • Der Normalenvektor $ \vec n $ der Ebene, die senkrecht zu zwei vorgegebenen Ebenen sein soll, ergibt sich aus dem Kreuzprodukt ihrer Normalenvektoren (ist also eine der gegebenen Ebenen in Parameterform gegeben, musst du zuerst ihren Normalenvektor ermitteln.
  • Mit dem gegebenen Punkt lässt sich dann die Normalenform bzw. Koordinatengleichung der Ebene aufstellen.

 

 

Beispiel

Durch den Punkt $P(-2|1|0)$ soll eine Ebene $E$ gelegt werden, die zu den zwei Ebenen $ E_1 : 3x_1 + 2x_2 - x_3 + 4 = 0 $ und $ E_2 : -4x_1 + 5x_2 = 0 $ orthogonal ist. Für das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt sich der Normalenvektor der gesuchten Ebene: $$ \vec n = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 23 \end{pmatrix} $$

Wichtig: Auch hier die Probe machen, und überprüfen, ob das Skalarprodukt von $ \vec n $ mit beiden Normalenvektoren den Wert null ergibt! Das ist hier der Fall, und wir erhalten für die Ebene die Gleichung:

$$ E: \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 23 \end{pmatrix} \bullet \begin{bmatrix} \vec x - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} = 0 \Longleftrightarrow 5x_1 + 4x_2 + 23x_3 +6 = 0 $$

 

Beliebte Inhalte auf Schulminator