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Volumenberechnung von Rotationskörpern

 

Merke
  • Lässt man eine Funktion $f$ innerhalb der Grenzen $x = a$ und $x = b$ räumlich um die x-Achse rotieren, dann entsteht dabei ein Rotationskörper mit der x-Achse als Symmetrieachse.
  • Dabei wird der Körper bei $x = a$ und $x = b$ begrenzt durch zwei Kreise mit den Radien $f(a)$ und $f(b)$. Sein Volumen ist gegeben durch die Formel: $$ V=\pi \int_{a}^{b}{f(x)^2}dx $$

 

 

Beispiel

Durch Rotation der Geraden mit der Gleichung $f(x) = x + 1$ um die $x$-Achse mit den Grenzen $a = 0$ und $b = 2$ entsteht ein Kegelstumpf, der bei $x = 0$ von einem Kreis mit dem Radius $f(0) = 1$ und bei $x = 2$ von einem mit Radius $f(2) = 3$ begrenzt wird.

Für sein Volumen gilt: $$ \begin{align} V &=\pi \int_{0}^{2}{(x+1)^2}dx \\ &= \pi \left[\frac{1}{3}\left(x+1\right)^3 \right]x^{2}_{0} \\ &= \pi \left(\frac{1}{3}3^3 - \frac{1}{3}1^3 \right) \\ &= \frac{26}{3} \pi \end{align} $$

 

 

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