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Definition: Vierfeldertafel

Beispiel: Vierfeldertafel

 

 

Definition: Vierfeldertafel

  • Häufig betrachtet man Situationen, in denen 2 verschiedene "Merkmale" untersucht werden und jedes dieser Merkmale zwei "Ausprägungen" hat. (Siehe Beispiel 1)
  • Oder man betrachtet bedingte Wahrscheinlichkeiten:
    Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis $A$ eintritt, unter der Bedingung, dass Ereignis $B$ schon eingetreten ist wird als $P_B(A)$ geschrieben.
  • Die Vierfeldertafel wird dann nach folgendem Schema aufgestellt:

    Vierfeldertafel Tabelle
    Vierfeldertafel Tabelle

  • Sie hängt direkt mit dem Baumdiagram zusammen. Die vier Felder entsprechen den Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse der Pfade eines zweistufigen Zufallsexperiments:

    Vierfeldertafel Baumdiagramm
    Vierfeldertafel Baumdiagramm

  • Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ lässt sich mit der Pfadregel berechnen zu $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ wobei $P(B\cap A)=P(A\cap B)$ für ein Laplace-Experiment.

 

 

Beispiel: Vierfeldertafel

  • Merkmal 1 = "Geschlecht" mit den Ausprägungen "männlich" oder "weiblich" sowie Merkmal 2 = "Schulabschluss" mit den Ausprägungen "erworben" oder "nicht erworben". Wegen der jeweils zwei Ausprägungen können dann zusammen $2\cdot2=4$ Fälle unterschieden werden: männlich mit Abschluss, männlich ohne Abschluss, weiblich mit Abschluss und weiblich ohne Abschluss. Diese Daten können z.B. durch eine Umfrage gewonnen werden und eine Möglichkeit sie übersichtlich darzustellen ist die Vierfeldertafel:
    männlich (M) weiblich (W) gesamt
    Abschluss (A)0,420,330,75
    keine Abschluss (kA)0,160,090,25
    gesamt0,580,421,00
  • Die Prozentangaben beziehen sich hier auf die Gesamtzahl der Schulabgänger (d.h. beiderlei Geschlecht und egal ob mit oder ohne Abschluss).
  • Das erkennt man auch daran, dass sich die vier Zahlen in der Mitte der Tafel zur Wahrscheinlichkeit 100 % addieren (bzw zu 1 wenn man die Dezimalpunktschreibweise wählt). Die Zeilen bzw. Spalten addieren sich zum Gesamtprozentsatz mit je einer Merkmalsausprägung.
  • Was hat das Ganze mit Wahrscheinlichkeitsrechnung zu tun? Nun man kann den (zugegeben) etwas künstlichen fall betrachten, dass aus einer Gruppe von Schulabgängern zufällig Personen ausgewählt werden, bei denen man anschließend nach Geschlecht und Abschluss fragt. Dies ist dann aber gerade ein "Zufallsexperiment", dessen Ausgang in einem Baumdiagram dargestellt werden kann. Die Werte für die Teilwahrscheinlichkeiten können aus der Vierfeldertafel berechnet werden:

    Vierfeldertafel Baumdiagramm Aufgabe
    Vierfeldertafel Baumdiagramm Aufgabe Beispiel

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