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Uneigentliche Integrale

 

Merke
  • Integrale, die einen Grenzwert haben wenn die obere oder untere Grenze variabel ist und gegen Unendlich läuft, nachdem sie in die Stammfunktion eingesetzt worden ist, sind sogenannte uneigentliche Integrale.
  • Die Berechnung läuft dann darauf raus, dass man die Stammfunktion auf Grenzwerte bzw. waagrechte Asymptoten untersucht.
  • Mit uneigentlichen Integralen lassen sich z.B. Flächen ausrechnen, die sich unendlich weit ausdehnen, aber trotzdem einen endlichen Inhalt haben, weil sie immer schmaler werden.
  • Für die Fläche $A$ zwischen zwei aufeinander zulaufenden Funktionen $f$ und $g$, die sich von der Geraden $x = a$ bis ins Unendliche erstreckt, wird dann die folgende Schreibweise verwendet: $$ A= \left|\int_{a}^{\infty}{f(x) - g(x)} dx \right| $$

 

 

Beispiel

 

Es wird die Fläche berechnet, die zwischen der $x$-Achse und der Exponentialfunktion $f(x) = e^{-x}$ liegt, nach links durch die $y$-Achse begrenzt ist und sich nach rechts unendlich weit ausdehnt. Dazu berechnen wir zuerst das bestimmte Integral mit der variablen oberen Grenze $t$: $$ \int_{0}^{t}{e^{-x}}dx= \left[-e^{-x}\right]^{t}_{0} = -e^{-t}+1 $$

Für die Fläche bzw. das uneigentliche Integral gilt dann: $$ \begin{align} A &= \left|\int_{a}^{\infty}{e^{-x}} dx \right| \\ &= \left|\underset{t\rightarrow \infty }{lim} \left(-e^{-t}+1\right) \right| \\ &=1 \end{align} $$

 

 

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