- Die Vielfachenmenge einer Zahl $a$ ist die Menge aller Vielfachen von $a$.
$$
V(a) = \left\{ x | x = n \cdot a, n \in N\right\}
$$
$a$ ist Teiler von $b$, wenn $b$ ein Vielfaches von $a$ ist.
$$
V(6) = \left\{6, 12, 18, 24, ... \right\} \\
V(2) = \left\{\textrm{Menge der geraden Zahlen}\right\}
$$
- Für jede natürliche Zahl $a$ gilt $1 | a$ und $a | a$.
$$
a|b \Leftrightarrow b=n \cdot a \textrm{ mit } n \in N \\
a|b \textrm{ und } a|c \Rightarrow a|(b+c) \textrm{ und } a|(b−c) \\
a|b \textrm{ und } b|c \Rightarrow a|c
$$
$$
7|35 \textrm{ weil } 35=5 \cdot 7 \\
9|99 \textrm{ und } 9|27 \Rightarrow 9|(99+27)=126 \\
12|60 \textrm{ und } 60|180 \Rightarrow 12|180
$$
- Die Teilermenge einer Zahl $a$ ist die Menge aller Teiler von $a$.
$$
T(a) = \left\{x|x|a\right\} = \left\{x|x \textrm{ Teiler von } a\right\}
$$
Für $ a \geq 2$ ist $ |T(a)| \geq 2$
$|T(a)|$ ist ungerade $\Leftrightarrow$ a ist Quadratzahl Teilung mit Rest:
$$
d:s=eRr \Leftrightarrow d=s \cdot e + r \textrm{ mit } r \lt s
$$
$$
T(6) = \left\{1, 2, 3, 6\right\} \\
T(48) = \left\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 16, 12, 16, 48\right\} \\
T(36)= \left\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 \right\} \\
|T(6)| = 4, |T(48)| = 10, |T(36)| = 9 \\
30 : 7 = 4 R 2 \textrm{ , weil } 30 = 7 \cdot 4 + 2
$$
$x$ ist durch $2$ teilbar, wenn die letzte Ziffer von $x$ durch $2$ teilbar oder $0$ ist.
$$
2|1378 \textrm{ , da } 2|8, 2 | 13330 \\
2 \nmid 4441 \textrm{ , da } 2 \nmid 1
$$
$x$ ist durch $4$ teilbar, wenn die aus den letzten beiden Ziffern von $x$ gebildete Zahl durch $4$ teilbar oder $00$ ist.
$$
4|1324 \textrm{ , da } 4|24 \\
4 \nmid 4442 \textrm{ , da } 4 \nmid 42
$$
$x$ ist durch $5$ teilbar, wenn die letzte Ziffer von $x$ $5$ oder $0$ ist.
$$
5|1375, 5|9970, 5 4 \nmid 5058
$$
$x$ ist durch $25$ teilbar, wenn die letzten beiden Ziffer von $x$ $00$, $25$, $50$ oder $75$ sind.
$$
25|1375, 25|9900, 25 \nmid 5055
$$
Die Quersumme (QS) einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern.
$$
QS(73024)=7+3+0+2+4=16
$$
Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
Eine Zahl ist durch $9$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist.
$$
3|1377 \textrm{ weil } QS(1377) = 18 \textrm{ und } 3|18 \\
3 \nmid 505 \textrm{ weil } QS(505) = 10 \textrm{ und } 3 \nmid 10 \\
9|5877 \textrm{ weil } QS(5877) = 27 \textrm{ und } 9|27 \\
9 \nmid 987 \textrm{ weil } QS(987) = 24 \textrm{ und } 9 \nmid 24
$$
