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Merke
  • Hier wird nach dem Parameter $t$ gefragt, für den $f_t$ eine bestimmte Bedingung erfüllt. Die Bedingung an die Funktion musst Du also irgendwie in eine Gleichung (oder in mehrere) bringen und dann nach $t$ auflösen.
  • Dazu lässt sich allgemein wenig sagen, deshalb kommen jetzt ein paar Beispiele zu möglichen Bedingungen.

$f_t$ schneidet $g$ zweimal

$f_t$ berührt $g$

$f_t$ schneidet $g$ senkrecht

Der Hochpunkt von $f_t$ liegt auf der $x$-Achse

$f_t$ hat zwei zueinander senkrechte Wendetangenten

 

 

$f_t$ schneidet $g$ zweimal

Zu bestimmen sind alle $t$, für die $f_t(x) = t - \frac{8}{x}$ die Gerade $g(x) = 2x$ zweimal schneidet. Aus der Schnittbedingung $f_t(x) = g(x)$ folgt: $$ t - \frac{8}{x} = 2x \textrm{ und } 2x^2 - tx + 8 = 0 $$

Diese Gleichung hat zwei Lösungen, wenn die Diskriminante positiv ist, d.h. wenn $t^2 - 64 \gt 0$ gilt. Das bedeutet, dass es für $t^2 \gt 64$, also für $t \gt 8$ oder für $t \lt 8$ zwei Schnittpunkte von $f_t$ und $g$ gibt.

 

$f_t$ berührt $g$

Gesucht ist dasjenige $t$, für welches $f_t$ mit $f_t(x) = x^2 + (t + 1)x + 3$ die Funktion $g(x) = 1 - x^2$ berührt. Bedeutung berührt soviel wie $f'_t(x) = g'(x)$ und $f_t(x) = g(x)$, d.h. es muss gelten: $$ 2x + t + 1 = -2x \textrm{ und } \\ x^2 + (t + 1)x + 3 = 1 - x^2 $$

Um die beiden Gleichungen nach $t$ und $x$ aufzulösen, können wir z.B. $t = -4x - 1$ (erste Gleichung) in die zweite Gleichung einsetzen. Aus der entstandenen Gleichung folgen dann die Lösungen $x = \pm 1$.

Das ergibt dann wieder nach Einsetzen in die erste Gleichung für $t$ die Lösungen $t = -5$ und $t = 3$. Das Ergebnis sieht dann so aus: $f_3$ berührt $g$ an der Stelle $x = -1$, und $f_{-5}$ berührt $g$ an der Stelle $x = 1$.

 

$f_t$ schneidet $g$ senkrecht

Für welches $t$ schneidet $f_t(x) = x^2 + \frac{1}{2}t$ die Funktion $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ senkrecht?

Das ist der Fall, falls $f'_t(x) \cdot g'(x) = -1$ und $f_t(x) = g(x)$ gilt: $$ 2x \cdot \frac{-2x}{(x^2 +1)^2} = - 1 \textrm{ und } \\ x^2 + \frac{1}{2}t = \frac{1}{x^2 + 1} $$

Die erste Gleichung führt nach Umformung auf eine biquadratische Gleichung für $x$ mit den Lösungen $x = \pm 1$. Beide Lösungen können dann in die zweite Gleichung eingesetzt werden, wobei sich jeweils $t = -1$ ergibt. Das bedeutet, dass $f_{-1}$ die Funktion $g$ an den Stellen $x = \pm 1$ senkrecht schneidet.

 

Der Hochpunkt von $f_t$ liegt auf der $x$-Achse

Wir gehen aus von der Funktionenschar $f_t(x) = \frac{t^3}{2x^2} + x + 3$ mit $t \lt 0$. Dabei hat $f_t$ den Hochpunkt $H(t|\frac{3}{2}t + 3)$. Soll der Hochpunkt auf der $x$-Achse liegen, dann muss seine $y$-Koordinate den Wert Null haben: $$ \frac{3}{2}t + 3 = 0 \textrm{ und } t = -2 $$

Damit hat die Funktion $f_2$ ihren Hochpunkt auf der $x$-Achse.

 

$f_t$ hat zwei zueinander senkrechte Wendetangenten

Bestimme $t$ so, dass $f_t(x) = tx^4 - 3x^2$ $(t \gt 0)$ zwei zueinander senkrechte Wendetangenten besitzt. Zuerst werden die Wendestellen bestimmt.

Dabei ergeben sich $x_1 = \frac{1}{\sqrt{2t}} $ und $x_2 = -\frac{1}{\sqrt{2t}} $ . Die Steigungen der Wendetangenten sind dann $m_1 = f'_t(x_1) = - \frac{4}{\sqrt{2t}} $ und $m_1 = f'_t(x_2) = \frac{4}{\sqrt{2t}} $. Sie schneiden sich senkrecht, wenn die Orthogonalitätsbedingung $m_1 \cdot m_2 = 1$ erfüllt ist: $$ -\frac{4}{\sqrt{2t}} \cdot \frac{4}{\sqrt{2t}} = - 1 \\ \Leftrightarrow \frac{16}{2t} = 1 \\ \Leftrightarrow t = 8 $$

Somit hat $f_8$ zwei senkrecht aufeinanderstehende Wendetangenten.