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Merke
  • Zuerst wird genau das Gleiche gemacht, wie beim Abstand zwischen Punkt und Gerade: Die Normalenform einer Hilfsebene $H$ mit dem Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor und dem gegebenen Punkt als Stützvektor wird aufgestellt, und der Schnittpunkt $S$ von $H$ mit der Geraden berechnet.
  • Jetzt bekommst Du den Spiegelpunkt $P'$ von $P$ wie oben durch zweimal Weitergehen von $P$ aus in Richtung von $P$ nach: $S:\vec{p'}= \vec{p}+2(\vec{s}-\vec{p})$

 

 

Beispiel

$P(-3|3|2)$ wird an der Geraden $\vec{x}= \left(\begin{matrix} -9 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) +t\left(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $ gespiegelt.

Die Hilfsebene hat die Gleichung: $$ \left(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{matrix} \right) \bullet \left[\vec{x} -\left(\begin{matrix} -3 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} \right) \right] =0 \\ \Leftrightarrow \quad x_1+3x_2-2x_3-2=0 $$

$x_1$, $x_2$ und $x_3$ aus der Geradengleichung in die Koordinatenform der Hilfsebene eingesetzt ergibt nach $t$ aufgelöst $t = 1$ und das wieder in die Geradengleichung eingesetzt $S(-8|4|1)$ als Schnittpunkt der Hilfsebene mit der Geraden. Damit steht der Spiegelpunkt $P'$ fest: $$ \begin{align} \vec{p'} &= \vec{p} + 2(\vec{s} - \vec{p}) \\ &= \left(\begin{matrix} -3 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) +2 \cdot \left[\left(\begin{matrix} -8 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) - \left(\begin{matrix} -3 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} \right) \right] \\ &= \left(\begin{matrix} -13 \\ 5 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \end{align} $$

 

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