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Merke
  • Die Aufgabe kann zurückgeführt werden auf die Spiegelung von einem Punkt an einer Ebene.
  • Du rechnest zuerst den Schnittpunkt $S$ von der Geraden mit der Ebene aus.
  • Dann nimmst Du einen Punkt $P$ auf der Geraden, z.B. den Stützvektor oder einen anderen (den Du für $\vec{x}$ durch Einsetzen einer beliebigen Zahl für den Parameter $t$ erhältst), der aber verschieden von $S$ sein muss.
  • Die Spiegelgerade ist dann die Gerade, die durch den Spiegelpunkt $P'$ von $P$ und durch $S$ geht.

 

 

Beispiel

Wir spiegeln jetzt die folgende Gerade $g$ an der Ebene $E$: $$ g:\vec{x} =\left(\begin{matrix} 4 \\ -3 \\ 7 \end{matrix} \right) +t\left(\begin{matrix} 13 \\ 6 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ E:x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 17 = 0 $$

Dazu wird als Erstes der Schnittpunkt $S$ ermittelt: $x_1$, $x_2$ und $x_3$ aus $g$ in $E$ einsetzen und nach $t$ auflösen.

Das Ergebnis $t = 1$ wieder in $g$ eingesetzt liefert als Schnittpunkt $S(17|3|2)$. Man kann nun den Spiegelpunkt $P'$ von z.B. $P(4|-3|7) \in g$ ausgerechnet werden.

Dieser hat die Koordinaten $(2|1|1)$. Also hat die Spiegelgerade $g'$ beispielsweise die Parameterform: $$ \begin{align} g:\vec{x} &=\vec{p'} + t(\vec{s} -\vec{p'}) \\ &=\left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) +t \left[\left(\begin{matrix} 17 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)\right] \\ &=\left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) + t\left(\begin{matrix} 15 \\ 2 \\1 \end{matrix} \right) \end{align} $$

 

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