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Spiegelung Ebene an Ebene

 

Merke
  • Sogar dieses Problem kannst Du zurückführen auf die Spiegelung von einem Punkt an einer Ebene.
  • Bestimme zuerst die Schnittgerade $s$ der beiden Ebenen. Dann spiegelst Du einen Punkt $P$ auf der zu spiegelnden Ebene (der aber nicht auf der Schnittgeraden liegen darf) an der anderen Ebene und erhältst $P'$.
  • Die Ebene, die $P'$ und $s$ enthält, ist dann die gesuchte Ebene.

 

 

$$ \begin{align} x_1 &= u_1+tv_1 \\ x_2 &= u_2+tv_2 \\ x_3 &= u_3+tv_3 \end{align} $$

Beispiel

Gegeben sind die folgenden zwei Ebenen $E_1$ und $E_2$: $$ E_1: -8x_1 + 11x_2 + 9x_3 - 29 = 0 \\ E_2: 2x_1 - x_2 + 3x_3 - 5 = 0 \Leftrightarrow \vec{x} =\left(\begin{matrix} 0 \\ -5 \\ 0 \end{matrix} \right) +s\left(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \right) +t\left(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) $$

Um $E_1$ an $E_2$ zu spiegeln, bestimmen wir zuerst die Schnittgerade: Einsetzen von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ aus der Parameterform von $E_2$ in $E_1$ und Auflösen nach $s$ ergibt $s = 6 - 3t$, was wieder in die Parameterform von $E_2$ eingesetzt die Schnittgerade liefert: $$ \begin{align} \vec{x} &=\left(\begin{matrix} 0 \\ -5 \\ 0 \end{matrix} \right) + (6-3t)\left(\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix} \right) + t\left(\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix} \right) \\ &= \left(\begin{matrix} 6 \\ 7 \\ 0 \end{matrix} \right) + t\left(\begin{matrix} -3 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $$

Jetzt wählen wir irgendeinen Punkt auf $E_1$, z.B. $P(5|3|4)$ und rechnen den Spiegelpunkt $P'(1|5|-2)$ aus. Damit hat die Spiegelebene $E_1'$ von $E_1$ die mögliche Parameterform: $$ \begin{align} \vec{x} &=\left(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{matrix} \right) + s \left[\left(\begin{matrix}6 \\ 7 \\ 0 \end{matrix} \right) - \left(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{matrix} \right) \right] + t\left(\begin{matrix} -3 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ &=\left(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{matrix} \right) + s\left(\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} \right) + t\left(\begin{matrix} -3 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $$

 

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