Sinussatz einfach erklärt


 

Was ist der Sinussatz? Sinussatz Formel und Erklärung

  • In jedem Dreieck verhalten sich die Längen zweier Seiten wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel:
    • $ \frac {sin(\alpha)}{sin(\beta)} = \frac {a}{b}  $ oder
    • $ \frac {a}{sin(\alpha)} = \frac {b}{sin(\beta)} = \frac {c}{sin(\gamma)} $ oder $ \frac {sin(\alpha)}{a} = \frac {sin(\beta)}{b} = \frac {sin(\gamma)}{c} $
  • Man kann den Sinussatz auch umstellen und wie folgt schreiben:
    • $sin(\alpha) \cdot b =   sin(\beta) \cdot a $
  • Der Sinussatz setzt Winkel und Seiten in einem Dreieck in Beziehung zueinander. Damit kannst Du relativ einfach Winkel und Seitenlängen im Dreieck berechnen.
  • Wenn in deinem Dreieck mindestens drei Größen gegeben mit einem Seiten-Winkel-Paar $ (a, \alpha), (b, \beta), (c, \gamma)$ enthalten ist, kannst du den Sinussatz verwenden, um die fehlenden Größen zu berechnen.
  • Sind aber nur drei Seiten gegeben oder aber zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel, dann musst du den Kosinussatz anwenden. 

Sinussatz: Formel, Erklärung, Beispiel, Aufgabe

 

Sinussatz Rechner

Berechne Winkel und Seitenlängen mit Hilfe des Sinussatzes:

$a$

$b$

$c$

$\alpha$

$\beta$

$\gamma$

Nachkommastellen runden:

 

Sinussatz Aufgabe mit Lösung: Sinnussatz umstellen

Gegeben ist ein Dreieck $ABC$ mit folgenden Seiten- und Winkelgrößen:

$a=5,4cm$;  $b=3,8cm$;   $\alpha =73^{\circ }$

Berechne die fehlenden Winkel $\beta$ und $\gamma$, so wie die Seitenlänge $c$.

 

Winkel $ \beta $ berechnen:

Für die Berechnung des Winkels $\beta$ verwenden wir den Sinussatz:

$ \frac {a}{\sin \alpha } = \frac {b}{\sin \beta }$

jetzt den Sinussatz umstellen nach $\beta$:

$ \sin \beta = \frac {b\cdot \sin \alpha }{a} $ $= \frac {3,8cm \cdot \sin 73^{\circ}} {5,4cm} \approx 0,67$

Mit dem Arkussinus (Umkehrfunktion des Sinus) können wir den Winkel berechnen:

$ \beta \approx \arcsin(0{,}67)\approx 42^{\circ }$

 

Winkel $ \gamma $ berechnen:

Den Wert für $\gamma$ erhalten wir mit Hilfe der Winkelsumme im Dreieck (= alle Winkel ergeben 180°):

$\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta \approx 180^{\circ }-73^{\circ }-42^{\circ }=65^{\circ }$

 

Seitenlänge $ c $ berechnen:

Die Seitenlänge $ c$  berechnen wir mit dem Sinussatz und es gilt:

$ \frac {a}{\sin \alpha } = \frac {c}{\sin \gamma } $

Durch Umformung gelangt man so zum Ergebnis:

$ c=\frac {a\cdot \sin \gamma }{\sin \alpha } $ $\approx {\frac {5,4cm \cdot \sin 65^{\circ }}{\sin 73^{\circ }}} $ $\approx 5{,}1\,\mathrm {cm} $

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