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Schnittpunkte

 

Merke
  • Um die Schnittpunkte zweier Funktionen $f$ und $g$ zu berechnen, setzt Du die beiden Funktionsterme gleich und löst dann die Gleichung $f(x) = g(x)$ bzw. $f(x) - g(x) = 0$ nach $x$ auf.
  • Die Lösungen dieser Gleichung sind die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Gibt es keine Lösung, dann schneiden sich die Kurven nicht.
  • Jetzt setzt Du die verschiedenen $x$-Werte noch in $f(x)$ oder $g(x)$ ein (wo ist egal, es kommt sowieso dasselbe raus), um die $y$-Koordinate von jedem Schnittpunkt auszurechnen.
  • Am Schluss schreibst Du alle zueinander gehörenden $x$- und $y$-Werte als Koordinatenpaare der Schnittpunkte auf.

 

 

Beispiel

Gesucht ist der Schnittpunkt der beiden Funktionen $g(x) = (x + 2)e^{-x}$ und $f(x) = x^2e^{-x}$. Durch Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt sich eine Gleichung, die durch den Exponentialterm geteilt werden kann, und dann auf die quadratische Gleichung $x^2 - x - 2 = 0$ mit den beiden Lösungen $x_1 = -1$ und $x_2 = 2$ führt. .

Für die Funktionswerte ergibt sich $g(-1) = f(-1) = e$ und $g(2) = f(2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2} $. Es gibt also die zwei Schnittpunkte $S(-1|e)$ und $S(2|\frac{4}{e^2})$.

Die Funktionen $g(x) = 3 - \frac{1}{4}$ und $f(x) = -\frac{4+x^2}{x} $ haben keinen Schnittpunkt, da $f(x) = g(x)$ nach Durchmultiplizieren mit $x$ und Vereinfachung auf die quadratische Gleichung $\frac{3}{4}x^2 + 3x + 4 = 0$ führt, die keine Lösung hat.

 

 

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