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Scharen-Geradenscharen

 

Merke
  • Eine Geradenschar ist eine Gerade, in der außer dem üblichen Parameter vor dem Richtungsvektor noch ein Scharparameter vorkommt, und zwar im Richtungsvektor oder im Stützvektor. Für jeden speziellen Wert dieses Parameters ergibt sich dann eine Gerade aus der Schar.
  • Eine typische Aufgabe zu Geradenscharen ist es, nach derjenigen Geraden aus der Schar zu fragen, die eine bestimmte Bedingung erfüllt. Dabei kommt es dann darauf an, für diese Bedingung eine Gleichung oder ein Gleichungssystem zu finden, und daraus dann den Scharparameter zu bestimmen.
  • Eine andere Möglichkeit für eine Aufgabe wäre es, eine Schar anzugeben, bei der alle Geraden der Schar in einer Ebene liegen, die man dann bestimmen soll.

 

 

Beispiele

Beispiel 1: Gibt es ein $g_s:\vec{x} =\left(\begin{matrix} 1+s \\ s \\ -2 \end{matrix} \right) +t\left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right) $, für welches die Gerade $g_s$ durch den Punkt $P(2|0|-3)$ geht?

Um das zu untersuchen, wird die Punktprobe gemacht, d.h. $P$ wird in der Geradengleichung für $\vec{x}$ eingesetzt, was ein Gleichungssystem für $s$ und $t$ ergibt:

Das Gleichungssystem hat die Lösungen $s =-1$ und $t = 1$, was bedeutet, dass die Gerade $g_{-1}$ durch $P$ geht. Wenn das Gleichungssystem keine Lösung gehabt hätte, dann wäre keine Gerade aus der Schar durch diesen Punkt gegangen.

 

Beispiel 2: Gibt es ein $s$, so dass die Gerade $g_s:\vec{x} =\left(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{matrix} \right) +t\left(\begin{matrix} -2 \\ 4s \\ 5 \end{matrix} \right) $ parallel (senkrecht) zur Ebene $E : x_1 - 2x_2 + x_3 = 1$ verläuft?

Parallel verläuft die Gerade, falls sie E nicht schneidet, d.h. wenn die Schnittgleichung keine Lösung für $t$ hat. Für die Schnittgleichung erhalten wir nach Einsetzen von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ aus der Geradengleichung in die Koordinatenform der Ebene: $$ 3 - 2t - 2 \cdot (4 +4st) - 2 +5t = 1 \Leftrightarrow (3-8s)t = 8 $$

Hier sieht man, dass die Gleichung für $s = \frac{3}{8} $ nicht nach $t$ auflösbar ist, d.h. der Scharparameter ist bestimmt.

Senkrecht verläuft die Gerade dann zur Ebene $E$, wenn ihr Richtungsvektor und der Normalenvektor linear abhängig sind. das bedeutet, dass es eine Zahl $r$ gibt, mit: $$ \left(\begin{matrix} -2 \\ 4s \\ 5 \end{matrix} \right) = r\left(\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \Longleftrightarrow \begin{matrix} -2 &= r \\ 4s &= -2r \\ 5 &= r \end{matrix} $$

Die erste und die letzte Gleichung widersprechen sich, und deshalb gibt es keine Lösung f¨r $r$ und $s$ bzw. keine Gerade, die senkrecht auf $E$ steht.

 

Beispiel 3: Welche Ebene enthält alle Geraden der Schar: $$ g_s: \vec{x} = \left(\begin{matrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) + t \left(\begin{matrix} 2 \\ -2 \\ s \end{matrix} \right)? $$

Das Ziel ist es, die Koordinatengleichung der Ebene zu finden, und zwar indem aus den drei Gleichungen: $$ \begin{align} x_1 &= 0+2t \\ x_2 &= -3-2t \\ x_3 &= 1+ts \end{align} $$

für die Koordinaten die Parameter $s$ und $t$ eliminiert werden. Das geht hier, indem die erste und die zweite Gleichung addiert werden, so dass $t$ wegfällt. Dabei ergibt sich die Gleichung $x_1 + x_2 = -3$, welche die gesuchte Ebene beschreibt.

 

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