Skip to content Skip to navigation

Satz von Bayes

Satz von Bayes Definition

Satz von Bayes Beispiele

 

 

Satz von Bayes Definition

  • Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ mit $P(A)$, $P(B) \gt 0$ gilt: $$ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} $$
  • In der Situation des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit haben wir: $$ \begin{align} P(B_i|A) &= \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{P(A)} \\ &= \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{ \sum\limits_{l=1}^{k}{P(A|B_l)P(B_l)}} \end{align} $$

 

 

Satz von Bayes Beispiel

Beispiel: Fußballmannschaft

Betrachten eine Fußballmannschaft, deren Siegeschance je Bundesliga-Spiel bei 75% liegt, falls ihr Kapitän in guter Form ist. Wenn ihr Kapitän jedoch nicht in guter Form ist, dann betrage ihre Siegeschance nur 40%. Bei 70% aller Bundesliga-Spiele seiner Mannschaft sei der Kapitän in guter Form.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass
1. die Mannschaft ein Bundesliga-Spiel gewinnt,
2. der Kapitän bei einem Bundesliga-Spiel in guter Form ist, obwohl die Mannschaft das Spiel nicht gewinnt.

Lösung

Zerlegen den Grundraum $\Omega$ auf zwei verschiedene Weisen in zwei Komponenten.

Sei $A$ = {Mannschaft gewinnt Bundesliga-Spiel},
$A_c$ = {Mannschaft gewinnt Bundesliga-Spiel nicht}
$B$ = {Kapitän ist in guter Form}
$B_c$ = {Kapitän ist nicht in guter Form}

Dann gilt $P(A | B) = 0,75$, $P(A | B_c ) = 0,40$, $P(B) = 0,70$

Damit ergibt sich: $$ \begin{align} P(A) &= P(A | B)P(B) + P(A | Bc)P(Bc) \\ &= 0,75 \cdot 0,70 + 0,40 \cdot 0,30 = 0,645 \end{align} $$ bzw. $$ \begin{align} P(B | A^c) &= \frac{P(A^c| B)P(B)}{P(A^c| B)P(B) + P(A^c|B^c)P(B^c)} \\ &= \frac{0,25 \cdot 0,70}{0,25 \cdot 0,70 + 0,60 \cdot 0,30} = 0,493 \end{align} $$

Beliebte Inhalte auf Schulminator