Satz des Pythagoras einfach erklärt


 

Satz des Pythagoras Formel

Satz des Pythagoras Formel, Rechner, Aufgaben, Anwendung

 

 

Satz des Pythagoras Rechner

Berechne einfach den Satz des Pythagoras:

$ c = \sqrt{a^2 + b^2}$

$ \gamma = 90^\circ $

$A = \frac{a \cdot b}{2} $

$ U = a + b +c$

$ h = \frac{a \cdot b}{c} $

Nachkommastellen runden:

 

 

Was ist der Satz des Pythagoras? 

  • Mit dem Satz des Pythagoras werden Strecken in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet.
  • Der Satz des Pythagoras kann nur auf rechtwinklige Dreiecke angewendet werden - also Dreieck mit einem 90° Winkel.
  • Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, bezeichnet man als Hypotenuse (c) und die beiden einschließenden Seiten der Hypotenuse heissen Katheten (a,b).
  • Satz des Pythagoras:
    • In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die beiden Quadrate über den Katheten haben zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat über der Hypotenuse.

Pythagoras animert

 

Satz des Pythagoras umstellen

Du kannst den Satz des Pythagoras $a^2 + b ^2 = c^2$ umstellen und nach $a$, $b$ und $c$ auflösen. Mit diesen Formeln berechnest du dann die Seitenlängen im Dreieck.

Satz des Pythagoras Formel umstellen

 

 

Satz des Pythagoras Aufgaben und Anwendung

Berechne Seitenlänge im rechtwinkligen Dreieck

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Maßen a = 6 cm und b = 4 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse c.

Satz des Pythagoras: Berechnung der Hypotenuse - Aufgabe

 

Berechne Streckenlänge im Koordinatensystem

Gegeben sind die Punkte A(1|2) und B(3|4). Berechne die Strecke AB.

Satz des Pythagoras: Berechnung von Strecken im Koordinatensystem

 

 

Satz des Pythagoras Beweis

Geometrischer Beweis durch Ergänzung (Wikipedia): In ein Quadrat mit der Seitenlänge $a + b$  werden vier gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten $a$ , $b$ und $c$ (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist.

Die Flächen des linken und des rechten Quadrates sind gleich (Seitenlänge $a + b$ ). Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge $c$, das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge $a$ und einem mit Seitenlänge $b$. Die Fläche $c^{2}$ entspricht also der Summe der Fläche $a^{2}$ und der Fläche $b^{2}$, also $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Pythagoras Beweis animiert

Geometrischer Beweis des Satzes des Pythagoras (Animation)

Eine algebraische Lösung ergibt sich aus dem linken Bild. Das große Quadrat hat die Seitenlänge $a+b$ und somit die Fläche $(a+b)^{2}$. Zieht man von dieser Fläche die vier Dreiecke ab, die jeweils eine Fläche von $ \frac{ab}{2} $ haben, so bleibt die Fläche $c^{2}$ übrig. Es ist also

 $(a+b)^{2}=2ab+c^{2}$.

Auflösung der Klammer liefert

$a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}$.

Zieht man nun auf beiden Seiten $ 2ab$ ab, bleibt der Satz des Pythagoras übrig.

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