Skip to content Skip to navigation

Reihen

Reihen

Definition einer Reihe

Beispiel: Grenzwert einer Reihe bestimmen

Geometrische Reihe

Harmonische Reihe

Cauchy-Kriterium für Reihen

 

 

Definition einer Reihe

Merke

Eine Summe $\sum\limits_{k=0}^{\infty }{a_k} $ mit unendlich vielen Summanden bezeichnet man als Reihe. Sie konvergiert gegen einen Grenzwert: $$ s = \sum\limits_{k=0}^{\infty }{a_k} $$

wenn die Folge $(s_n)$ der Partialsummen $$ s = \sum\limits_{k=0}^{n }{a_k} $$

gegen $s$ konvergiert. Existiert kein Grenzwert, so bezeichnet man die Reihe als divergent. Der Grenzwert kann von der Reihenfolge der Summanden abhängen, bzw. braucht nach dem Umordnen nicht mehr zu existieren.

Notwendig für die Konvergenz einer Reihe ist, dass $$ \underset{n \rightarrow \infty}{ lim} a_n = 0 $$


Graphische Darstellung einiger Reihen.

 

 

Beispiel: Grenzwert einer Reihe bestimmen

Beispiel

Nur in wenigen Fällen ist die explizite Berechnung einer Reihe möglich. Ein Beispiel sind bestimmte Reihen mit rationalen Summanden wie $$ \sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{2}{n^2-1} } =\frac{3}{2} $$

Nach der Partialbruchzerlegung $$ \frac{2}{n^2-1} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} $$

lässt sich diese Reihe in der Form $$ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \\ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + ... $$

schreiben. Bis auf $\frac{1}{1}$ und $\frac{1}{2}$ heben sich alle Summanden auf, so dass der Grenzwert $\frac{3}{2}$ unmittelbar abgelesen werden kann.
Für die Differenz der Partialsummen gilt für $n \lt m$: $$ \left|s_n - s_m\right| = \left|\left\lgroup\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right\rgroup + \left\lgroup\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right\rgroup + ... \\ + \left\lgroup\frac{1}{m-3} - \frac{1}{m-1} \right\rgroup + \left\lgroup\frac{1}{m-2} - \frac{1}{m} \right\rgroup + \right| \leq \frac{4}{n-1} $$

da sich die mittleren Terme aufheben. Die Partialsummen bilden also eine Cauchy-Folge: $$ \left|s_n - s_m\right| \lt \epsilon \textrm{ für } n \gt 1 + \frac{4}{\epsilon } $$

Die Differenz zum Grenzwert ist $$ \left|\frac{3}{2} - s_n \right| = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} \lt \frac{2}{n} $$

Das Beispiel zeigt auch, dass die Reihenfolge der Summanden im allgemeinen wesentlich ist. Wählt man die Reihenfolge $$ \left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \right) + \\ \left(\frac{1}{5} + ... + \frac{1}{8} - \frac{1}{5} \right) + \left(\frac{1}{9} +...+ \frac{1}{16} - \frac{1}{6} \right) + ... $$

so ist jeder Ausdruck in Klammern $\gt \frac{1}{4}$, die Reihe also divergent.

 

Geometrische Reihe

Merke

Die geometrische Reihe $\sum\limits_{k=0}^{\infty }{q^k}$ konvergiert genau, dann wenn $|q| \lt 1$.

Mit der geometrischen Summenformel $$ s_n = 1 + q + ... + q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} $$

lässt sich der Grenzwert explizit berechnen: $$ \underset{n \rightarrow \infty}{ lim} s_n = 1 + q + q^2 + q^3 + ... + q^n + ... = \frac{1}{1-q} $$

für $|q| \lt 1$

 

Harmonische Reihe

Merke

Die harmonische Reihe: $$ s = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... = \sum\limits_{k=1}^{\infty }{\frac{1}{k}} $$

divergiert bzw. hat den uneigentlichen Grenzwert $s = \infty$. Allgemeiner ist die Reihe $$ s_\alpha = \sum\limits_{k=1}^{\infty }{k^{-\alpha}} $$

für $\alpha \lt 1$ divergent und für $\alpha \gt 1$ konvergent. Einige spezielle Werte sind: $$ s_2 = \sum\limits_{k=1}^{\infty }{k^{-2}} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... = \frac{\pi^2}{6} \\ s_4 = \sum\limits_{k=1}^{\infty }{k^{-4}} = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ... = \frac{\pi^4}{90} \\ $$

 

Cauchy-Kriterium für Reihen

Merke

Die Reihe $\sum\limits_{k=0}^{\infty }{a_k}$ konvergiert genau, dann wenn wenn für alle $ \epsilon \gt 0$ ein $n_\epsilon$ existiert, so dass für $ n \gt m \gt n_\epsilon$ gilt: $$ |a_{m+1} + a_{m+2} + ... + a_n| \lt \epsilon $$

Für die Partialsummen $s_n$ und $s_m$ ist $$ s_n - s_m = a_{m+1} + a_{m+2} + ... + a_n $$

also entspricht die obige Aussage dem Cauchy-Kriterium für Folgen: $$ s_n \textrm{ konvergiert } \Leftrightarrow s_n \textrm{ ist eine Cauchy-Folge } $$

Beliebte Inhalte auf Schulminator