Reelle Zahlen $\mathbb{R}$ Definition

Reelle Zahlen $\mathbb{R}$ Beispiel

 

Reelle Zahlen $\mathbb{R}$ Definition

Merke
  • Der Grund, eine weitere Zahlenmenge einzuführen, ist, dass es auch Zahlen gibt, die eine unendlich lange, nicht-periodische Dezimaldarstellung haben und sich damit nicht als rationale Zahlen darstellen lassen, sondern sogenannte irrationale Zahlen sind. Bekannte Beispiele sind die Zahlen $2$ und $\pi$.
  • Wir haben $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ mit
    $\mathbb{Z}$ = Menge der ganzen Zahlen (Gruppe bzgl. +)
    $\mathbb{Q}$ = Menge der rationalen Zahlen (Körper bzgl. + und $\cdot$)
    eingeführt, um Gleichungen der Form $m + x = n$ bzw. $m \cdot y = n$ mit $m, n \in \mathbb{N}$ lösen zu köonnen.
    Das reicht aber nicht, wenn man sich mit analytischen Problemen befassen will.
  • R ist vollständig, d.h. jeder reellen Zahl entspricht ein Punkt auf der Zahlengeraden und umgekehrt.

 

Reelle Zahlen $\mathbb{R}$ Beispiel

  • Diagonale im Einheitskreis

    Wie groß ist die Länge $d$ der Diagonalen im Einheitsquadrat?
    Laut Pythagoras gilt $d^2 = 1 + 1 = \sqrt{2} $

    Reelle Zahlen Diagonale Quadrat

  • Intervallschachtelung

    Durch eine Intervallschachtelung kann man für jeden Punkt auf der Zahlengeraden den dazugehörenden Dezimalbruch konstruieren.

    Reelle Zahlen Intervallschachtelung

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