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Rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen werden eingeführt, damit jede Gleichung der Form $a \cdot x = b$ mit $a,b \in \mathbb{Z}, a \neq 0$, lösbar wird. So ist z.B. $x=\frac{4}{5}$ Lösung der Gleichung $5 \cdot x =4$. Für die Menge der rationalen Zahlen schreiben wir: $$ \mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} | p,q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\right\} $$

Rationale Zahlen Definition

Rationale Zahlen Rechenregeln

Rationale Zahlen Beispiel

 

 

Rationale Zahlen Definition

Merke
  • Jede ganze Zahl (und damit auch jede natürliche Zahl) ist als Bruch darstellbar $ 3 = \frac{3}{1} = \frac{15}{5} $.
  • Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegen unendlich viele weitere rationale Zahlen.
  • Jede rationale Zahl lässt sich als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch darstellen. Beispielsweise gilt: $$ \frac{5}{8} = \frac{625}{1000} = 0,625 \\ \frac{1}{3} = 0,3333... = 0,\overline{3} \\ \frac{13}{90} = 0,1\overline{4} $$
  • Ein und dieselbe Bruchzahl kann durch Erweitern und Kürzen unterschiedlich aufgeschrieben werden.
  • Erweitern $$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot k }{b \cdot k} \qquad (a \in \mathbb{Z}; b,k \in \mathbb{Z} \setminus \left\{0\right\} ) $$
  • Kürzen $$ \frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a}{b} \qquad (a \in \mathbb{Z}; b,k \in \mathbb{Z} \setminus \left\{0\right\} ) $$
  • Die Gleichheit zweier Brüche lässt sich mit folgender Beziehung überprüfen: $$ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} \Leftrightarrow a_1 \cdot b_2 = a_2 \cdot b_1, \qquad a_1, a_2 \in \mathbb{Z}; b_1, b_2 \in \mathbb{Z} \setminus \left\{0\right\} \\ \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 8 \cdot 3 = 12 \cdot 2 \Leftrightarrow 24 = 24 $$

 

 

Rationale Zahlen Beispiel

Für beliebige Brüche $\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}$ mit $a_1, a_2 \in \mathbb{Z}$ und $b_1, b_2 \in \mathbb{Z} \setminus \left\{0\right\}$ gelten die folgenden Rechenregeln:
  1. $$\frac{a_1}{b_1} \pm \frac{a_2}{b_1} = \frac{a_1 \pm a_2}{b_1}$$
  2. $$\frac{a_1}{b_1} \pm \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_1 \cdot b_2 \pm a_2 \cdot b_1}{b_1 \cdot b_2}$$
    Dabei heißt $b_1 \cdot b_2$ gemeinsamer Nenner von $b_1$ und $b_2$.
  3. $$\frac{a_1}{b_1} \cdot \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_1 \cdot a_2}{b_1 \cdot b_2}$$
  4. $$\frac{a_1}{b_1} : \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_1}{b_1} \cdot \frac{b_2}{a_2} = \frac{a_1 \cdot b_2}{b_1 \cdot a_2}$$

Rationale Zahlen Beispiel

Beispiel 1

$$ \begin{align} 1 - \frac{u}{1 - \frac{u}{u+1}} &= 1 - \frac{u}{\frac{u+1-u}{u+1}} \\ &= 1 - \frac{u}{\frac{1}{u+1}} \\ &= 1 - \frac{u \cdot (u+1)}{1} \\ &= 1 - u^2 - u \textrm{ für } u \neq -1 \end{align} $$

Beispiel 2

$$ \begin{align} \frac{ab + \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}a - \frac{1}{4}}{a + \frac{1}{2}} &= \frac{\frac{4ab+2b-2a-1}{4}}{\frac{2a+1}{2}} \\ &= \frac{4ab + 2b -2a -1}{4a +2} \\ &= \frac{2b(2a+1)-(2a+1)}{2\cdot (2a+1)} \\ &= \frac{(2b-1)(2a+1)}{2\cdot(2a+1)} \\ &= \frac{2b-1}{2} \textrm{ für } a \neq -\frac{1}{2} \end{align} $$

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