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Definition Quotientenregel

Quotientenregel Beispiele

 

 

Definition Quotientenregel

  • Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.
  • Es gilt folgende Formel für die Ableitung von zwei Funktionen, die mit einer Multiplikation verknüpft sind: $$ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2} $$
  • Zähler $g(x)$ ableiten mal Nenner $h(x)$ unabgeleitet minus Zähler $g(x)$ unabgeleitet mal Nenner $h(x)$ abgeleitet Nenner $h(x)$ im Quadrat

 

 

Quotientenregel Beispiele

  • Beispiel 1: Berechne die Ableitung von $ f(x) = \frac{x^2 + 5}{3x - 1}$ $$ \begin{align} f(x) &= \frac{g(x)}{h(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2} \\ g(x) &= (x^2 + 5) \textrm{ , } g'(x) = 2x\\ h(x) &= 3x - 1 \textrm{ , } h'(x) = 3 \\ f'(x) &= \frac{2x \cdot (3x - 1) - (x^2 + 5) \cdot 3}{(3x -1)^2} \\ f'(x) &= \frac{3x^2 - 2x - 15}{9x^2 - 6x + 1} \end{align} $$

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