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Quantoren

Definition Quantoren: Existenz- und Universalaussagen

Verneinung von Quantoren

Beispiel 1: Verneinte Existenzaussage, Universalaussage

Beispiel 2: Existenzaussagen

Beispiel 3: Universalaussagen

 

 

Definition Quantoren: Existenz- und Universalaussagen

Merke

Als Abkürzung für die Formulierungen

  • es gibt: $ \exists $
  • für alle: $ \forall $

werden der Existenzquantor $ \exists $ und der Allquantor $ \forall $ verwendet. Diese Quantoren werden häufig in Verbindung mit Aussagen $A(p)$ benutzt, die von einem Parameter $p$ aus einer Menge $P$ abhängen.

Diese Quantoren werden häufig in Verbindung mit Aussagen $A(p)$ benutzt, die von einem Parameter $p$ aus einer Menge $P$ abhängen.

  • $ \exists p \in P : A(p)$ es gibt mindestens ein $p$ aus $P$, für das $A(p)$ wahr ist
  • $ \forall p \in P : A(p)$ für alle $p$ aus $P$ ist $A(p)$ wahr

 

Verneinung von Quantoren

Merke

Oftmals sind in der Mathematik Verneinungen von komplizierten Existenz- und Univer- salaussagen zu bilden. Wir betrachten zunächst Aussagen bestehend aus Quantor und Aussageform. Dann gilt:

  • Eine Existenzaussage wird verneint, indem man den Allquantor $ \forall $ vor die verneinte Aussageform stellt.
  • Eine Universalaussage wird verneint, indem man den Existenzquantor $ \exists $ vor die verneinte Aussageform stellt.

Bei der Negation der beiden Aussagentypen vertauschen sich die Quantoren: $$ \neg(\exists p \in P: A(p)) = \forall p \in P: \neg A(p) \\ \neg(\forall p \in P: A(p)) = \exists p \in P: \neg A(p) $$

Gebräuchlich ist ebenfalls die Schreibweise $ \exists !$ für die Formulierung "es gibt genau ein...".

 

 

Beispiel 1: Verneinte Existenzaussage, Universalaussage

Beispiel

Verneinte Existenzaussage

$$ \begin{align} &\neg(\exists n \in \mathbb{N}: n \geq 7 \wedge n \leq 10) \\ &\Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}: \neg (n \geq 7 \wedge n \leq 10) \\ &\Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}: \neg (n \geq 7) \vee \neg (n \leq 10) \\ &\Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}: n \lt 7 \vee n \gt 10 \end{align} $$

 

Verneinte Universalaussage

$$ \begin{align} &\neg(\forall n \in \mathbb{N}: \textrm{n ist eine Primzahl} \rightarrow \textrm{n ist ungerade}) \\ &\Leftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}: \neg (\textrm{n ist eine Primzahl} \rightarrow \textrm{n ist ungerade}) \\ &\Leftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}: \neg (\neg (\textrm{n ist eine Primzahl}) \vee \textrm{n ist ungerade}) \\ &\Leftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}: \textrm{n ist eine Primzahl} \wedge \textrm{n ist ungerade } \end{align} $$

 

Beispiel 2: Existenzaussagen

Beispiel

Sei K die Menge der Komponisten. Wir betrachten die folgenden Aus- sageformen, wobei K die Grundmenge ist.

  1. A beherrschte alle Musikinstrumente.
  2. A hat die Oper Aida geschrieben.
  3. A hat eine Oper geschrieben.

In 1. läßt sich kein Komponist einsetzen, in 2. und 3. lassen sich genau ein bzw. mehrere Komponisten finden, so dass eine wahre Aussage entsteht. Man führt folgende Symbolik ein:

  1. $ \exists A \in K$ : A beherrschte alle Musikinstrumente.
  2. $ \nexists A \in K$ : A hat die Oper Aida geschrieben.
  3. $ \exists! A \in K$ : A hat eine Oper geschrieben.

Somit sind sogenannte Existenzaussagen aus den Aussageformen entstanden. Beachte: Die vorkommende Variable ist nicht mehr frei, sondern durch den Existenzquantor gebunden. Man darf nicht mehr jedes beliebige Element der Grundmenge einsetzen.

 

Beispiel 3: Universalaussagen

Beispiel

Es gibt Aussageformen, sogenannte Universalaussagen, die für alle Elemente der Grundmenge zu einer wahren Aussage werden.

Sei K wie die Menge der Komponisten:

A kann Noten lesen.

Man kann davon ausgehen, dass die Aussageform für alle Komponisten wahr wird. Hier benutzt man den sogenannten Allquantor:

$ \forall A \in K $ : A kann Noten lesen.

 

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