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Quadratische Form in Kugelform

 

Merke

Aus der quadratischen Form einer Kugel bekommst Du durch quadratisches Ergänzen schnell die Kugelform, bei der Du dann den Mittelpunkt und den Radius der Kugel ablesen kannst:

$$ \begin{align} x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + b_1x_1 + b_2x_2 + b_3x_3 + c = 0 \\ \Leftrightarrow \left(x_1 + \frac{b_1}{2}\right)^2 - \frac{b_1^2}{4} + \left(x_2 + \frac{b_2}{2}\right)^2 - \frac{b_2^2}{4} + \left(x_3 + \frac{b_3}{2}\right)^2 - \frac{b_3^2}{4} + c = 0 \\ \Leftrightarrow \left(x_1 + \frac{b_1}{2}\right)^2 + \left(x_2 + \frac{b_2}{2}\right)^2 + \left(x_3 + \frac{b_3}{2}\right)^2 = \frac{b_1^2}{4} + \frac{b_2^2}{4} + \frac{b_3^2}{4} - c \end{align} $$

Durch Vergleich der letzten Gleichung mit der Kugelform bekommst Du also:

$ M\left( -\frac{b_1}{2} | -\frac{b_2}{2} | -\frac{b_3}{2} \right) $ und $ r^2 = \frac{b_1^2}{2} + \frac{b_2^2}{2} + \frac{b_3^2}{2} -c $ bzw. $ r = \sqrt{\frac{b_1^2}{2} + \frac{b_2^2}{2} + \frac{b_3^2}{2} - c} $.

 

 

Beispiel

Die quadratische Form $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 6x_1 + x_3 + 5 = 0$ einer Kugel soll in die Kugelform umgewandelt werden. Durch quadratisches Ergänzen ergibt sich

$$ \begin{align} x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 6x_1 + x_3 + 5 = 0 \\ \Leftrightarrow (x_1 - 3)^2 - 9 + x_2^2 + (x_3 + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 5 = 0\\ \Leftrightarrow (x_1 - 3)^2 + x_2^2 + (x_3 + \frac{1}{2})^2 = \frac{17}{4} \\ \end{align} $$

Deshalb ist $M(3|0|-\frac{1}{2})$ der Mittelpunkt, und $r = \sqrt{\frac{17}{4}}$ der Radius der Kugel.

 

Online Rechner: Kugel Formel Rechner

Gebe bitte den Kugel Radius an:

Kugel-Formel: Volumen, Fläche, Oberfläche, Umfang, Mantel
Radius: Oberfläche:  
   

Volumen:

 
   

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