Merke

Aus der quadratischen Form einer Kugel bekommst Du durch quadratisches Ergänzen schnell die Kugelform, bei der Du dann den Mittelpunkt und den Radius der Kugel ablesen kannst:

$$ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + b_1x_1 + b_2x_2 + b_3x_3 + c = 0 \\ \Leftrightarrow \left(x_1 + \frac{b_1}{2}\right)^2 - \frac{b_1^2}{4} + \left(x_2 + \frac{b_2}{2}\right)^2 - \frac{b_2^2}{4} + \left(x_3 + \frac{b_3}{2}\right)^2 - \frac{b_3^2}{4} + c = 0 \\ \Leftrightarrow \left(x_1 + \frac{b_1}{2}\right)^2 + \left(x_2 + \frac{b_2}{2}\right)^2 + \left(x_3 + \frac{b_3}{2}\right)^2 = \frac{b_1^2}{4} + \frac{b_2^2}{4} + \frac{b_3^2}{4} - c $$

Durch Vergleich der letzten Gleichung mit der Kugelform bekommst Du also:

$ M\left( -\frac{b_1}{2} | -\frac{b_2}{2} | -\frac{b_3}{2} \right) $ und $ r^2 = \frac{b_1^2}{2} + \frac{b_2^2}{2} + \frac{b_3^2}{2} -c $ bzw. $ r = \sqrt{\frac{b_1^2}{2} + \frac{b_2^2}{2} + \frac{b_3^2}{2} - c} $.

 

Beispiel

Die quadratische Form $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 6x_1 + x_3 + 5 = 0$ einer Kugel soll in die Kugelform umgewandelt werden. Durch quadratisches Ergänzen ergibt sich

$$ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 6x_1 + x_3 + 5 = 0 \\ \Leftrightarrow (x_1 - 3)^2 - 9 + x_2^2 + (x_3 + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 5 = 0\\ \Leftrightarrow (x_1 - 3)^2 + x_2^2 + (x_3 + \frac{1}{2})^2 = \frac{17}{4} \\ $$

Deshalb ist $M(3|0|-\frac{1}{2})$ der Mittelpunkt, und $r = \sqrt{\frac{17}{4}}$ der Radius der Kugel.

 

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