Primzahlen Definition

Sieb des Eratosthenes Erklärung und Beispiel

 

Primzahlen Definition

  • Eine natürliche Zahl ist genau dann eine Primzahl, wenn es nur duch eins und sich selbst teilbar ist ohne Rest.
  • Die Teilermenge einer Primzahl besteht damit aus genau 2 Elementen: Der Zahl selbst und der 1.
    T(7)={1,7}, 7 ist eine Primzahl
    T(51) = {1, 3, 17, 51}, 51 ist keine Primzahl, da die Zahl 51 insgesamt 4 Teiler hat
  • Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben. Dies bezeichnet man als Primfaktorenzerlegung:
    $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$, $51 = 3 \cdot 17$, $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$
  • Definition Menge der Primzahlen in Mengenschreibweise: $$ \mathbb{P} = \left\{p \in \mathbb{N} \mid p \gt 1 \wedge \nexists a, b \in \mathbb{N} \setminus \left\{1\right\}: a \cdot b = p \right\} $$

 

Sieb des Eratosthenes Erklärung und Beispiel

  • Eratosthenes von Kyrene lebte im dritten Jahrhundert vor Christus (ca. 276-194 v.Chr). Er war Bibliothekar an der berühmten Bibliothek in Alexandria in Ägypten. Er war sehr gelehrt und beschäftigte sich mit Geografie, Mathematik, Philosophie und Sprachen.
  • Er entdeckte auch ein Verfahren, wie man Primzahlen findet. Diese Methode nennt man Sieb des Eratosthenes.
  • Hier ist ein Beispiel bis zur Zahl 20: 1. Schreibe alle Zahlen von 1 bis 20 auf:
    $1 \; 2 \; 3 \; 4 \; 5 \; 6 \; 7 \; 8 \; 9 \; 10 \; 11 \; 12 \; 13 \; 14 \; 15 \; 16 \; 17 \; 18 \; 19 \; 20 $
    2. Streiche die Zahl 1 (sie wird aus guten Gründen nicht zu den Primzahlen gerechnet):
    $\not 1 \; 2 \; 3 \; 4 \; 5 \; 6 \; 7 \; 8 \; 9 \; 10 \; 11 \; 12 \; 13 \; 14 \; 15 \; 16 \; 17 \; 18 \; 19 \; 20 $
    3. Streiche die Zahl 2:
    $\not 1 \; \not 2 \; 3 \; 4 \; 5 \; 6 \; 7 \; 8 \; 9 \; 10 \; 11 \; 12 \; 13 \; 14 \; 15 \; 16 \; 17 \; 18 \; 19 \; 20 $
    4. Streiche alle echten Vielfachen von 2; also die Zahlen 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 und 20:
    $\not 1 \; \not 2 \; 3 \; \not 4 \; 5 \; \not 6 \; 7 \; \not 8 \; 9 \; \not 10 \; 11 \; \not 12 \; 13 \; \not 14 \; 15 \; \not 16 \; 17 \; \not 18 \; 19 \; \not 20 $
    5. Unterstreiche die erste freie (d.h. noch nicht unterstrichene oder gestrichene) Zahl; in diesem Fall also die Zahl 3:
    $\not 1 \; \not 2 \; 3 \; \not 4 \; 5 \; \not 6 \; 7 \; \not 8 \; 9 \; \not 10 \; 11 \; \not 12 \; 13 \; \not 14 \; 15 \; \not 16 \; 17 \; \not 18 \; 19 \; \not 20 $
    6. Streiche aus den verbleibenden Zahlen alle echten Vielfachen von 3; also die Zahlen 9 und 15:
    $\not 1 \; \not 2 \; 3 \; \not 4 \; 5 \; \not 6 \; 7 \; \not 8 \; \not 9 \; \not 10 \; 11 \; \not 12 \; 13 \; \not 14 \; \not 15 \; \not 16 \; 17 \; \not 18 \; 19 \; \not 20 $
    7. Unterstreiche die kleinste freie Zahl; in diesem Fall also die Zahl 5:
    $\not 1 \; \not 2 \; 3 \; \not 4 \; 5 \; \not 6 \; 7 \; \not 8 \; \not 9 \; \not 10 \; 11 \; \not 12 \; 13 \; \not 14 \; \not 15 \; \not 16 \; 17 \; \not 18 \; 19 \; \not 20 $
    8. Streiche aus den verbleibenden Zahlen alle echten Vielfachen der Zahl 5; da die in Frage kommenden Zahlen 10, 15 und 20 bereits gestrichen sind, tritt in diesem Fall (Maximum = 20) keine Veränderung auf.
    9. Setze das Verfahren sinngemäß so lange fort, bis jede der Zahlen entweder unterstrichen oder gestrichen ist.
    $\not 1 \; \not 2 \; 3 \; \not 4 \; 5 \; \not 6 \; 7 \; \not 8 \; \not 9 \; \not 10 \; 11 \; \not 12 \; 13 \; \not 14 \; \not 15 \; \not 16 \; 17 \; \not 18 \; 19 \; \not 20 $
    10. Ende des Verfahrens. Die unterstrichenen Zahlen sind die Primzahlen zwischen 1 und 20. Mit diesem Verfahren werden die Primzahlen im wahrsten Sinne des "ausgesiebt".

    Sieb des Eratosthenes bis 100
    Sieb des Eratosthenes bis 100

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