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Normalenform in Parameterform

 

Merke
  • Normalenform in Parameterform
  • Der Stützvektor $p$ kann aus der Normalenform übernommen werden. Zur Bestimmung der beiden Spannvektoren $u$ und $v$ muss folgendes Gleichungssystem gelöst werden:
  • $$ \begin{matrix} u \cdot n = 0 \\ v \cdot n = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow u_1 \cdot n_1 + u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot n_3 = 0v_1 \cdot n_1 + v_2 \cdot n_2 + v_3 \cdot n_3 = 0 $$
  • Hierbei ist zu beachten, dass die Vektoren $u$ und $v$ linear unabhängig sein müssen. Die Parameterform ist dann gegeben durch: $$ x = p + r \cdot u + s \cdot v \qquad (t,s \in \mathbb{R}) $$

 

 

Beispiel

Normalenform in Parameterform

Sei die Ebene $E$ gegeben durch:

$$ \left(x - \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} -10 \\ 8 \\ 5 \end{matrix}\right) = 0 $$

Der Stützvektor lässt sich ablesen und ist $ p = \left(\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\right) $.

Zur Bestimmung der Spannvektoren löse folgendes Gleichungssystem:

$$ \begin{align} -10u_1 + 8u_2 + 5u_3 &= 0 \\ -10v_1 + 8v_2 + 5v_3 &= 0 \end{align} $$

Das Gleichungssystem hat 2 Gleichungen und 6 Variablen, also existieren unendlich viele Lösungen und 2 Variablen lassen sich frei wählen. Hierbei ist zu beachten, dass die Spannvektoren linear unabhängig sind. Also sollte man die gewählen Koordinaten von $v$ nicht als vielfaches von den Koordinaten von $u$ wählen.

Wähle $u_1 =1$ und $u_2 = 5$, dann gilt: $$ -10 \cdot 1 + 8 \cdot 5 + 5 \cdot u_3 = 0 \Leftrightarrow u_3 = -6 $$ und $ v_1 =1 $ und $ v_2 = 1 $, dann gilt: $$ -10 \cdot 1 + 8 \cdot 1 + 5 \cdot u_3 = 0 \Leftrightarrow u_3 = \frac{2}{5} $$ Die Parameterform ist somit:

$$ x = \left(\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) + r \cdot \left(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ -6 \end{matrix} \right) + s \cdot \left(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \frac{2}{5} \end{matrix} \right) \qquad (r,s \in \mathbb{R}) $$

 

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