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Normalenform

Normalenform

Definition Normalenform

Normalenform in Parameterform

Normalenform in Koordinatenform

 

 

Definition Normalenform

Merke

Sei $E$ eine Ebene und $ \vec p$ ein Stützvektor von $E$. Die Ebene lässt sich beschreiben durch die Gleichung: $$ (\vec x - \vec p ) \cdot \vec n = 0 $$

Hierbei ist $\vec n$ ein Normalenvektor, d.h. er ist orthogonal zu zwei gegebenen linear unabhängigen Spannvektoren von $E$.

 

Normalenform in Parameterform

Merke

Der Stützvektor $p$ kann aus der Normalenform übernommen werden. Zur Bestimmung der beiden Spannvektoren $u$ und $v$ muss folgendes Gleichungssystem gelöst werden: $$ u \cdot n = 0 \\ v \cdot n = 0 $$

Daraus folgt: $$ u_1 \cdot n_1 +u_2 \cdot n_2 +u_3 \cdot n_3 =0 \\ v_1 \cdot n_1 +v_2 \cdot n_2 +v_3 \cdot n_3 =0 $$

Hierbei ist zu beachten, dass die Vektoren $u$ und $v$ linear unabhängig sein müssen. Die Parameterform ist dann gegeben durch: $$ x = p + r \cdot u + s \cdot v \qquad (t,s \in \mathbb{R}) $$

Beispiel

Sei die Ebene E gegeben durch: $$ \left(x - \left(\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \right) \cdot \left(\begin{matrix} -10 \\ 8 \\ 5 \end{matrix} \right) = 0 $$

Der Stützvektor lässt sich ablesen und ist $p = \left(\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right)$.

Zur Bestimmung der Spannvektoren löse folgendes Gleichungssystem: $$ -10u_1 +8u_2 +5u_3 =0 \\ -10v_1 +8v_2 +5v_3 =0 $$

Wähle $u_1 =1$ und $u_2 =5$, dann gilt: $-10 \cdot 1 + 8 \cdot 5 + 5u_3 =0 \Leftrightarrow u_3 = -6$ und $v_1 =1$ und $v_2 =1$, dann gilt: $-10 \cdot 1 + 8 \cdot 1 + 5u_3 = 0 \Leftrightarrow u_3 = \frac{2}{5}$.

Die Parameterform ist somit: $$ E:x = \left(\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) + r \left(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ -6 \end{matrix} \right) + s \left(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \frac{2}{5} \end{matrix} \right) \qquad (r,s \in \mathbb{R}) $$

 

 

Normalenform in Koordinatenform

Merke

Zur Bestimmung der Parameterform muss einfach nur das Skalarprodukt in der Normalenform ausgerechnet werden: $$ \left(\left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right) - \left(\begin{matrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{matrix} \right) \right) \cdot \left(\begin{matrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{matrix} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow \left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right) \cdot \left(\begin{matrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{matrix} \right) - \left(\begin{matrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{matrix} \right) \cdot \left(\begin{matrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{matrix} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow \left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right) \cdot \left(\begin{matrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{matrix} \right) \cdot \left(\begin{matrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{matrix} \right) $$

Also ist die Koordinatenform: $n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = n_1p_1 + n_2p_2 + n_3p_3$.

Beispiel

Gegeben ist: $$ \left(x - \left(\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \right) \cdot \left(\begin{matrix} -10 \\ 8 \\ 5 \end{matrix} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow \left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right) \cdot \left(\begin{matrix} -10 \\ 8 \\ 5 \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \cdot \left(\begin{matrix} -10 \\ 8 \\ 5 \end{matrix} \right) $$

Dies können wir jetzt umschreiben: $$ -10x_1 +8x_2 +5x_3 =5 \cdot (-10)+2 \cdot 8+3 \cdot 5 \\ = -50+16+15=-19 $$

Damit ist die Koordinatenform: $$ -10x_1 + 8x_2 + 5x_3 = -19 $$

 

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