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Mengenlehre

Mengenlehre

Mengenlehre Definitionen

Mengenoperationen

Kartesiches Produkt

 

 

Mengenlehre Definitionen

Merke

Der Begriff der Menge ist ein elementarer Bestandteil der Mathematik. Wir folgen der Definition von Georg Cantor:

Definition 1 (Menge): Unter einer Menge verstehen wir die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.

  • Um eine solche Zusammenfassung zu erhalten, muss also klar sein, welche Objekte zusammengefasst werden. Eine Menge kann dann dadurch beschrieben werden, dass man alle Elemente einfach aufzählt. Die entsprechenden Elemente werden dabei zwischen den Mengenklammern { und } eingeschlossen und durch Kommata getrennt: $$ A_1 := \left\{ 1, 2, 3\right\} $$
  • Man verwendet := um eine Definition darzustellen. $A_1 := \left\{ 1, 2, 3\right\}$ bedeutet also, dass $A_1$ definiert ist als die folgende Menge.
  • Man verwendet auch Punkte, um eine Menge zu beschreiben, wenn klar ist, wie die Folge fortzuführen ist: $$ A_2 := \left\{ a,b,c,...,z \right\} $$
  • Eine andere Möglichkeit, die Elemente einer Menge zu beschreiben, ist über eine charakteristische Eigenschaft: $$ A_3 := \left\{x | \textrm{x ist eine natürliche Zahl und teilbar durch 2} \right\} $$
  • Diese Menge beinhaltet alle geraden natürlichen Zahlen, ihre explizite Notation wäre also {0,2,4,6,...}. Die Menge, die keine Elemente enthält, wird leere Menge genannt und durch das Zeichen $\varnothing $ oder {} symbolisiert.
  • Mengen können selbst wieder Mengen erhalten. So ist z.B. {$\varnothing $} die Menge, die die leere Menge enthält, und nicht etwa die leere Menge selbst.
  • Die Reihenfolge der Elemente ist irrelevant: {a,b,c} = {c,b,a}. Eine Mehrfachaufzählung ist nicht zulässig, d.h. {a,b,c,a,b} ist keine Menge.

Definition 2 (Element): Gehört ein Element a einer Menge $A$ an, so schreibt man $a \in A$ (Sprechweise: $a$ ist Element von $A$). Gehört a nicht zu $A$, so schreibt man $a \notin A$ (Sprechweise: $a$ ist nicht Element von $A$).

Definition 3 (Teilmenge, Obermenge): Ist jedes Element einer Menge $A$ auch in einer Menge $B$ enthalten, so gilt $A \subseteq B$ (Sprechweise: $A$ ist Teilmenge von $B$). Man sagt auch $B \supseteq A$ (Sprechweise: $B$ ist Obermenge von $A$).


Ist $A \subseteq B$, so liegt jedes Element von A auch in B. B kann jedoch auch mehr Elemente als A enthalten.

Definition 4 (Gleichheit von Mengen): Zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn sie beide die gleichen Elemente enthalten, wenn also gilt $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$.

Damit ist klar, dass eine Menge ein Element nicht mehrfach enthalten kann. So gilt zum Beispiel {a, a, b} = {a, b}.

Definition 5 (Echte Teilmenge): Ist jedes Element einer Menge A auch in einer Menge B enthalten und es gibt mindestens ein Element in B, welches nicht in A ist, so gilt $A \subset B$ (Sprechweise: A ist echte Teilmenge von B). Man sagt auch $B \supset A$ (Sprechweise: B ist echte Obermenge von A).

Man schreibt auch $A \nsubseteq B$ bzw. $B \nsupseteq A$ für $A \subset B$ bzw. $B \supset A$.

Definition 6 (Kardinalität): Die Kardinalität, geschrieben |A|, einer Menge A gibt an, wie viele Elemente in A enthalten sind. Enthält A unendlich viele Elemente, so schreibt man |A| = $\infty$.

  • Sei A = {a, b, c, d} gegeben. Dann ist |A| = 4.

Definition 7 (Potenzmenge): Die Menge $P(A)$ aller Teilmengen von $A$ wird als Potenzmenge bezeichnet, d.h. $P(A) = {B : B \subseteq A}$. Dabei gilt $ \varnothing \in P(A)$, $A \in P(A)$ und $|P(A)| = 2^{|A|}$.

  • Die Potenzmenge der Menge $A = \left\{1, 2, 3\right\} $ hat die Kardinalität $ 2^{|A|} = 2^3 = 8$ und ist
    $P (A) = \left\{\varnothing, \left\{1\right\} , \left\{2\right\} , \left\{3\right\} , \left\{1, 2\right\} , \left\{1, 3\right\} , \left\{2, 3\right\} , \left\{1, 2, 3\right\} \right\} $

Beispiel

$ \mathbb{N} = \left\{1, 2, 3, . . .\right\} $ ist die Menge der natürlichen Zahlen

$ \mathbb{Z} = \left\{...,-1,0,1,...\right\} $ ist die Menge der ganzen Zahlen.

$ \mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} | p,q \in \mathbb{Z}, q \notin 0, ggT(p,q)=1\right\} $ ist die Menge der rationalen Zahlen.

$ \mathbb{R} = \left\{...,-1,0,1,...\right\} $ ist die Menge der reellen Zahlen.

$ \mathbb{C} = \left\{...,-1,0,1,...\right\} $ ist die Menge der komplexen Zahlen.

$\left\{x \in \mathbb{R} | x^2 = 1\right\} = \left\{-1,1\right\} $

$\left\{x \in \mathbb{R} | x^2 = -1\right\} = \varnothing = \left\{\right\} $

 

Mengenoperationen

Merke

Vereinigung: $ A \cup B = \left\{x: x \in A \vee x \in B\right\} $

Durchschnitt: $ A \cap B = \left\{x: x \in A \wedge x \in B\right\} $

Differenz, Komplementärmenge: $ A \setminus B = \left\{x: x \in A \wedge x \notin B\right\} $

symmetrische Differenz: $ A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B) $


In der Abbildung sind die Mengenoperationen mit Hilfe sogenannter Venn-Diagramme illustriert.

Ist $ B \subset A $ fallen einige der Diagramme zusammen:

 

Für Mengenoperationen gelten die folgenden Regeln:

Assoziativgesetze $$ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \\ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $$

Kommutativgesetze $$ A \cap B = B \cap A \\ A \cup B = B \cup A $$

Morgansche Regeln $$ C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B) \\ C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B) $$

Distributivgesetze $$ (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)\\ (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) $$

Idempotenz $$ A \cap A = A, A \cup A = A $$

Diese Regeln entsprechen den Gesetzen für logische Operationen, wenn man die Operatoren $\cup,\cap$ durch $\vee,\wedge$ ersetzt und $\setminus$ durch $\neg$.

Beispiel

Wir beweisen die De Morgansche Regel. Es gilt: $$ \begin{align} x \in C \setminus (A \cap B) &\Leftrightarrow x \in C \wedge x \notin (A \cap B) \\ &\Leftrightarrow x \in C \wedge (x \notin A \vee x \notin B) \end{align} $$

Nach den Distributivgesetzen ist der letzte Ausdruck äquivalent zu $$ (x \in C \wedge x \notin A) \vee (x \in C \wedge x \notin B) \Leftrightarrow x \in (C \setminus A \cup C \setminus B) $$

womit die behauptete Identität gezeigt ist.

 

 

Kartesiches Produkt

Merke

Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen der beiden Mengen: $$ A \times B = \left\{(a,b): a \in A \wedge b \in B \right\} $$

Es gilt: $$ (a,b) = (a',b') \Leftrightarrow (a = a' \wedge b=b') $$ d.h. im Gegensatz zu der Gleichheit von Mengen $ (\left\{a,b\right\} = \left\{b,a\right\} ) $ ist die Reihenfolge wesentlich

Für endliche Mengen gilt $\left|A \times B \right| = \left|A \right| \cdot \left|B\right| $

Entsprechend definiert man das n-fache kartesische Produkt $$ A_1 \times ... \times A_n $$ als die Menge aller geordneten Tupel $(a_1,...,a_n)$ mit $a_i \in A_i$. Sind die Mengen gleich, so schreibt man $A^n = A \times ... \times A$.

Beispiel

Die Eckpunkte eines Würfels lassen sich als 3-faches kartesisches Produkt der Menge M = {0, 1} mit sich selbst beschreiben, denn $$ M \times M \times M =\left\{(m_1,m_2,m_3) | (m_1 \in M) \wedge (m_2 \in M) \wedge (m_3 \in M)\right\} $$

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