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Lineare Gleichungen und Ungleichungen Erklärung und Aufgaben

Definition Gleichung und Ungleichung

Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformung

Lineare Gleichungen lösen

 

 

Definition Gleichung und Ungleichung

Definition Gleichung und Ungleichung

Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformung

Merke

  • Eine Gleichung wird gelöst, indem man sie so lange umformt, bis die gesuchte Variable (Beispielsweise x) alleine und positiv auf einer Seite der Gleichung steht.
  • Für alle Gleichungen gibt es Umformungsregeln, die nach Ausführung der Operation die Lösungsmenge der Gleichung nicht verändert. Diese Umformungen bezeichnet man als Äquivalenzumformungen.
  • Für Gleichungen gelten die folgenden Umformungsregeln: Seiten vertauschen, auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren und mit der gleichen Zahl multiplizieren und dividieren.
  • Für Ungleichungen gelten die folgenden Umformungsregeln: Seiten vertauschen – aber umkehren der Rechenoperation, auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren, mit einer positiven Zahl multiplizieren oder dividieren und bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl die Rechenoperation umkehren.
  • Vorsicht: Potenzieren, Wurzelziehen und Quadrieren sind keine Äquivalenzumformungen.

Beispiel

Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformung

 

Spickzettel: YouTube Video zu Lineare Gleichungen lösen (155 KB)

 

 

Lineare Gleichungen lösen

Merke

  • Eine lineare Gleichung liegt dann vor, wenn die Variable (z.B. x) nur in der 1. Potenz und nicht im Nenner vorkommt.
  • Auf der linken und rechten Seite der Gleichung steht jeweils ein Term.
  • Eine Gleichung wird umgeformt, indem auf beiden Seiten die gleichen Rechenschritte durchgeführt werden: Es werden auf beiden Seiten immer die gleichen Umformungen vorgenommen.
  • Zum Lösen einer Gleichung wird sie schrittweise so umgeformt, dass die gesuchte Variable allein und positiv auf einer Seite der Gleichung steht.

Allgemeine Lösungsschritte

  1. Vereinfache und fasse zusammen auf beiden Seiten der Gleichung so weit wie möglich.
  2. Bringe die Variable - meistens x - auf die linke Seite und die Zahlenwerte nach rechts.
  3. Fasse wieder zusammen, wenn möglich.
  4. Forme um, so dass die Unbekannte alleine und positiv auf der linken Seite steht und ein Zahlenwert auf der rechten Seite.

Beispiel

Lineare Gleichungen Aufgaben mit Lösung