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Merke
  • Leite zuerst die Koordinatenform der Ebene her, und schreibe dann die Geradengleichung $ \vec x = \vec u + t \vec v $ in Form von drei Gleichungen auf: $$ $$ \begin{align} x_1 &= u_1+tv_1 \\ x_2 &= u_2+tv_2 \\ x_3 &= u_3+tv_3 \end{align} $$ $$
  • Jetzt kannst Du $x_1$, $x_2$ und $x_3$ in die Koordinatenform der Ebene einsetzen, und diese Gleichung für $t$ untersuchen. Dabei können drei Fälle eintreten.
    1. Die Gleichung lässt sich nach $t$ auflösen. Dann bekommst Du den Schnittpunkt, indem Du das Ergebnis für $t$ wieder in die Geradengleichung einsetzt.
    2. Die Gleichung lässt sich nicht auflösen, weil $t$ wegfällt, und sie ergibt eine wahre Aussage. Das heißt dann, dass die Gerade in der Ebene liegt.
    3. Die Gleichung lässt sich nicht nach $t$ auflösen und ergibt eine falsche Aussage. Dann schneiden sich die Gerade und die Ebene nicht, und sie sind parallel zueinander.

 

 

Beispiel

Die Ebene $ E : x_1 - 3x_2 + x_3 + 2 = 0 $ ist gegeben und die drei Geraden $$ g_1 : \vec x = \left(\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right) + t \left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right), \quad g_2 : \vec x = \left(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 6 \end{matrix} \right) + t \left(\begin{matrix} -1 \\ 5 \\ 6 \end{matrix} \right), \quad g_3 : \vec x = \left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right) + t \left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right) $$

$ E \cap g_1 $: Einsetzen von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ aus der Geradengleichung in die Koordinatenform von $E$ ergibt $6 - 3(2 + t) + (-1 + 3t) + 2 = 0$, oder nach Umformung $1 = 0$. Die Gleichung ist falsch, also gibt es keinen Schnittpunkt, Gerade und Ebene sind parallel.

$ E \cap g_2 $: Einsetzen von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ aus der Geradengleichung für $g_2$ führt zu der Gleichung $ 2- t -3 \cdot 5t + 6 + 6t + 2 = 0$. Wenn man das nach $t$ auflöst ergibt sich $t = 1$, was man dann wieder in die Geradengleichung einsetzen kann, um den Schnittpunkt $S$ auszurechnen:

$ E \cap g_3 $: Wieder erhält man durch Einsetzen der Koordinaten aus der Geradengleichung in die Ebene eine Gleichung für $ t : 2 + t - 3 (1 + 0 \cdot t) + (-1 -t) + 2 = 0$ oder umgeformt $0 = 0$. Das ist eine wahre Aussage, und $g_3$ liegt deshalb in der Ebene $E$.

 

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