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Lage Ebene-Ebene

Lagebeziehungen und Schnittberechnung: Ebene - Ebene

 

 

Merke
  • Am Besten ist es, wenn Du beide Ebenen in Koordinatenform vorliegen hast. Wenn nicht, dann wandle die Ebenengleichung zuerst in die Koordinatenform um. Die beiden Koordinatengleichungen bilden ein Gleichungssystem aus 2 Gleichungen und den drei Unbekannten $x_1$, $x_2$ und $x_3$: $$ \begin{align} a_1x_1 + b_1x_2 + c_1x_3 + d_1 = 0 \\ a_2x_1 + b_2x_2 + c_2x_3 + d_2 = 0 \end{align} $$
  • Oder als Matrix: $$ \left( \begin{array}{cc|cc} a_1 & b_1 & c_1 & -d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & -d_2 \end{array} \right) $$
  • Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems ist die Schnittmenge der beiden Ebenen. Du musst also die Lösungsmenge bestimmen. Dabei gibt es folgende Fälle:
    1. Wenn das LGS keine Lösung hat, dann sind die Ebenen parallel.
    2. Wenn das LGS unendlich viele Lösungen hat und die Lösungsmenge ist 1-dimensional (d.h., es wird ein Parameter zur Beschreibung der Lösungen benögigt), dann gibt es eine Schnittgerade. Die Gleichung der Schnittgeraden bekommst du, indem du die Lösung des LGS vektoriell darstellst.
    3. Wenn das LGS unendlich viele Lösungen hat und die Lösungsmenge ist 2-dimensional (d.h., es werden zwei Parameter zur Beschreibung der Lösungen benögigt), dann sind die Ebenen identisch. Eine vektorielle Darstellung der Lösung des LGS entspricht dann der Darstellung der Ebene in Parameterform.

 

 

Beispiel

Wir gehen von folgenden Ebenen aus: $$ \begin{align} E_1 &:x_1 +x_2 -2x_3 +4=0 \\ E_2 &:-2x_1 -2x_2 +4x_3 -8=0 \\ E_3 &:6x_2 -12x_3 +5=0 \\ E_4 &:-2x_2 +4x_3 -7=0 \\ E_5 &: 3x_1 - 15x_2 - 6x_3 = 0 \\ E_6 &: 5x_1 - 25x_2 - 11x_3 + 1 = 0 \\ E_7 &:-x_1 +3x_2 -4x_3 -10= 0 \\ E_8 &:2x_2 -4x_3 -8=0 \\ \end{align} $$

$E_1 \cap E_2$: Die Koordinatengleichungen ergeben das LGS: $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & -4 \\ -2 & -2 & 4 & 8 \end{array} \right) $$ Es hat unendlich viele Lösungen mit 2-dimensionaler Lösungsmenge. Die Ebenen sind also identisch

$E_3 \cap E_4$: die Koordinatengleichungen liefern das LGS: $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 0 & 6 & -12 & -5 \\ 0 & -2 & 4 & 7 \end{array} \right) $$ Dieses LGS hat keine Lösung, somit sind die Ebenen parallel.

$E_5 \cap E_6$: Hier führen die Koordinatengleichungen auf das LGS: $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & -15 & -6 & 0 \\ 5 & -25 & -11 & -1 \end{array} \right) $$ Dieses LGS hat unendlich viele Lösungen, wobei die Lösungsmenge 1-dimensional ist. Das bedeutet die Lösungen können mit einem Parameter beschrieben werden. Somit haben die Ebenen eine Schnittgerade. Um deren Gleichung anzugeben, schreiben wir die Lösung $x_1 = 2 + 5t$, $x_2 = t$, $x_3 = 1$ noch in vektorieller Schreibweise. Dabei erhalten wir für die Schnittgerade: $$ \vec{x} = \left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right) =\left(\begin{matrix} 2 & + & 5t \\ & & t \\ 1 & & & \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) + t\left(\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) $$

$E_7 \cap E_8$: Die Ebenen führen zur Matrix: $$ \left( \begin{array}{ccc|c} -1 & 3 & -4 & 10 \\ 0 & 2 & -4 & 8 \end{array} \right) $$ Dieses LGS hat ebenfalls unendlich viele Lösungen und eine 1-dimensionale Lösungsmenge. Es gibt also eine Schnittgerade. Mit den Lösungen $x_1 = 2+2t$, $x_2 = 4+2t$, $x_3 = t$ erhalten wir die Gleichung der Schnittgerade: $$ \vec{x} = \left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right) =\left(\begin{matrix} 2 & + & 2t \\ 4 & + & 2t \\ & & t \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix} \right) + t\left(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right) $$

 

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