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Kugelscharen

 

Merke
  • Was bei den Geraden- und Ebenenscharen gilt, kann man auch über Kugelscharen sagen. In der Gleichung für die Kugel kommt ein Scharparameter vor, der meistens aufgrund von Forderungen an die Kugel bestimmt werden soll.
  • Außerdem solltest Du selbst die Gleichung einer Kugelschar aufstellen können, deren Kugeln alle einen festen gegebenen Radius haben, und deren Mittelpunkte auf einer vorgegebenen Geraden liegen.

 

 

Beispiele

Beispiel 1: Bestimme die Schar aller Kugeln mit dem Radius $r = 3$, deren Mittelpunkte auf der Geraden $ \vec{x} = \left(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ -6 \end{matrix} \right) + s\left(\begin{matrix} 2 \\ -2 \\ 7 \end{matrix} \right) $ liegen.

Die Mittelpunktskoordinaten sollen auf der Geraden liegen, für sie gilt deshalb $m_1 = 2s$, $m_2 = 3 - 2s$ und $m_3 = -6 + 7s$. Mit $r^2 = 9$ lässt sich dann die Kugelform der Schar hinschreiben: $$ (x_1 - 2s)^2 + (x_2 - (3 - 2s))^2 + (x_3 - (-6 + 7s))^2 = 9 \\ \Leftrightarrow (x_1 - 2s)^2 + (x_2 - 3 + 2s)^2 + (x_3 + 6 - 7s)^2 = 9 $$

 

Beispiel 2: Wir betrachten die Kugelschar $K_s : (x_1 +1)^2 +(x_2 - 2_s)^2 + (x_3 + 3s)^2 = 4$, und die Ebene $E$ mit der Koordinatenform $ -x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5$.

Gesucht sind diejenigen Kugeln aus der Schar, die $E$ berühren. Die Kugel und die Ebene berühren sich genau dann, wenn der Abstand $d(M;E)$ zwischen Kugelmittelpunkt $M(-1|2s|-3s)$ und Ebene gleich dem Radius der Kugel ist.

Wir berechnen diesen Abstand zu: $$ d(M;E)= \left|\frac{1+4s-6s-5}{3} \right|= \frac{\left|-(4+2s)\right| }{3} =\frac{\left|4+2s\right| }{3} $$ in Abhängigkeit von $s$. Damit gilt dann bei Berührung: $$ \frac{\left|4+2s\right| }{3} =2\Leftrightarrow \left|4+2s\right|=6 $$ mit den zwei Lösungen $s=1$ und $s=-5$.

 

Beispiel 3: Welche Kugel der Schar $K_s: (x_1 + 3)^2 + (x_2 - s)^2 + (x_3 + 2s -1)^2 = 1 $ hat einen Mittelpunkt, der auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $ g:\vec{x} = \left(\begin{matrix} -3 \\ 2 \\ -3 \end{matrix} \right) + t \left(\begin{matrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right) $ liegt?

Die Mittelpunkte der Scharkugeln haben die drei Koordinaten $m_1 = -3$, $m_2 = s$ und $m_3 = 1 - 2s$, d.h. sie liegen auf der Mittelpunktgeraden h mit der Gleichung: $$ h:\vec{x} = \left(\begin{matrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) + t \left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{matrix} \right) $$

Um zu sehen, für welchen Wert von $s$ der Mittelpunkt von $K_s$ auf $g$ liegt, wird der Schnittpunkt von $g$ mit $h$ berechnet. Dabei ergibt sich nach Gleichsetzen der Geradengleichungen und Lösung des Gleichungssystems für $s$ der Wert $s = 2$ mit dem zugehörigen Kugelmittelpunkt $M(-3|2|-3)$.

 

 

Online Rechner: Kugel Formel Rechner

Gebe bitte den Kugel Radius an:

Kugel-Formel: Volumen, Fläche, Oberfläche, Umfang, Mantel
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Volumen:

 
   

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