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Koordinatenform

Koordinatenform

Definition Koordinatenform

Koordinatenform in Parameterform

Koordinatenform in Normalenform

 

 

Definition Koordinatenform

Merke

Koordinatenform einer Ebene

Sei $E$ eine Ebene. Dann lässt sich die Ebene darstellen durch $$ ax_1 + bx_2 + cx_3 = d $$

wobei $ a, b, c \in \mathbb{R} $ und mindestens einer der drei Koeffizienten $a, b$ oder $c$ ungleich $0$ ist.

 

Koordinatenform in Parameterform

Merke

Löse die Gleichung nach einer Variable (z.B. $x_1$) und ergänze die Gleichungen. Wir zeigen das am Beispiel für $x_1$.
Sei $E : ax_1 +bx_2 +cx_3 = d$, wobei $a \neq 0$. Dann: $$ \begin{align} x_1 &= \frac{d}{a} + \frac{-b}{a} x_2 + \frac{-c}{a} x_3 \\ x_2 &= 0 + 1x_2 + 0 x_3 \\ x_3 &= 0 + 0x_2 + 1x_3 \end{align} $$

Dann ist die Parameterform gegeben durch: $$ x = \left(\begin{matrix} \frac{d}{a} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) + r \left(\begin{matrix} \frac{-b}{a} \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right) + s \left(\begin{matrix} \frac{-c}{a} \\ -5 \\ 8 \end{matrix} \right) \qquad (r,s \in \mathbb(R)) $$

Analog kann man dies auch für $x_2$ und $x_3$ machen. Wichtig hierbei ist, dass der Koeffizient ungleich 0.

Beispiel

Sei die Ebene $E$ gegeben durch: $$ E: x_1 + 5x_2 - 2x_3 = 20 $$

Auflösen nach $x_1$ liefert: $x_1 = 20 - 5x_2 + 2x_3$.

Nun ergänze die Gleichung zu: $$ \begin{align} x_1 &= 20 + -5x_2 + 2x_3 \\ x_2 &= 0 + 1x_2 0x_3 \\ x_3 &= 0 + 0x_2 + 1x_3 \\ \end{align} $$

Somit ist die Parameterform: $$ x = \left(\begin{matrix} 20 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) + r \left(\begin{matrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) + s \left(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \qquad (r,s \in \mathbb(R)) $$

 

 

Koordinatenform in Normalenform

Merke

Die Koeffizienten der Koordinatengleichung sind die Koordinaten eines Normalenvektors $n$. Zur Bestimung eines Stützvektors ist es sinnvoll zwei Koordinaten der Koordinatengleichung 0 zu wählen.

Die fehlende Koordinate ergibt sich durch Einsetzen in die Koordinatengleichung.
Sei also beispielsweise $a \neq 0$ und setze $x_2 = x_3 = 0$. Dann ergibt sich: $$ ax_1 + 0x_2 + 0x_3 = d \Leftrightarrow x_1 = \frac{d}{a} $$

und somit die Normalenform: $$ \left(x - \left(\begin{matrix} \frac{d}{a} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \right) \cdot \left(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) = 0 $$

Beispiel

Gegeben ist die folgende Ebene $E : 2x_1 + 5x_2 + 3x_2 = 12$.

Der Normalenvektor ist gegeben durch $n = \left(\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{matrix} \right)$.

Setze $x_2 = x_3 = 0$. Dann gilt $ 2x_1 + 5 \cdot 0 + 3 \cdot 12 \Leftrightarrow x_1 = 6$.

Die Normalenform ist somit: $$ \left(x - \left(\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \right) \cdot \left(\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{matrix} \right) = 0 $$

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