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Kettenregel

Definition Kettenregel

Kettenregel Beispiele

 

 

Definition Kettenregel

  • Die Kettenregel ist eine Regel der Differentialrechnung. Sie trifft Aussagen über die Ableitung einer Funktion, die sich selbst als Verkettung von zwei differenzierbaren Funktionen darstellen lässt.
  • Kernaussage der Kettenregel ist, dass eine solche Funktion selbst wieder differenzierbar ist und man ihre Ableitung erhält, indem man die beiden miteinander verketteten Funktionen separat ableitet und - ausgewertet an den richtigen Stellen - miteinander multipliziert.
  • Für die Kettenregel gilt: $$ f(x) = g(z(x)) \textrm{ ist } f'(x) = z'(x) \cdot g'(z(x)) $$
  • leite die äußere Funktion $f()$ ab
  • schreibe innere Funktion $z(x)$ unabgeleitet ab
  • multipliziere mit der Ableitung der inneren Funktion $z'(x)$

 

 

Kettenregel Beispiele

  • Beispiel 1: Berechne die Ableitung von $f(x) = (x^2+ 2)^5$ $$ \begin{align} f(x) &= g(z(x)) \Rightarrow f'(x) = z'(x) \cdot g(z(x)) \\ f(x) &= (x^2 + 2) \Rightarrow f'(x) = 2x \cdot 5(x^2 + 2)4 \\ &= 10x \cdot (x^2+ 2)4 \end{align} $$
  • Beispiel 2: Berechne die Ableitung von $f(x) = \sqrt{x^2 + 5}$ $$ \begin{align} f(x) &= g(z(x)) \Rightarrow f'(x) = z'(x) \cdot g'(z(x)) \\ f(x) &= (x^2 + 5)^{0,5} \Rightarrow f'(x) = 2x \cdot 0,5 \cdot (x^2 + 5)^{0,5} \\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}} \end{align} $$
  • Beispiel 3: Berechne die Ableitung von $f(x) = sin(x^2 + 5)$ $$ \begin{align} f(x) &= g(z(x)) \Rightarrow f'(x) = z'(x) \cdot g'(z(x)) \\ f(x) &= sin(x^2+ 5) \Rightarrow f'(x) = 2x \cdot cos(x^2 + 5) \end{align} $$

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