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Irrationale Zahlen

Irrationale Zahlen Definition

Irrationale Zahlen Beispiele

 

 

Irrationale Zahlen Definition

  • Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist.
  • Die Menge $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen besteht aus der Menge der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ und der Menge der irrationalen Zahlen $\mathbb {I}$. Die rationalen Zahlen sind die endlichen und unendlichen, periodischen Dezimalzahlen, die irrationalen Zahlen sind die unendlichen, nichtperiodischen Dezimalzahlen.
  • Die Menge der irrationalen Zahlen lässt sich auch kurz als $ \mathbb{R} \setminus \mathbb {Q} $
  • Die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ ist also die Menge aller Dezimalzahlen.
  • Eine reelle Zahl heißt irrational, wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann; sie kann nicht als $ \frac{p}{q}$ mit $ p,q\in \mathbb {Z} $ und $q\neq 0$ geschrieben werden.
  • Im Gegensatz zu rationalen Zahlen, die als endliche oder periodische Dezimalzahlen dargestellt werden kännen, sind irrationale Zahlen solche, deren Dezimaldarstellung nicht abbricht und nicht periodisch ist.

 

 

Irrationale Zahlen Beispiele

Es gibt zwei Typen von Irrationalzahlen:

  • solche, die auch algebraische Zahlen sind (etwa quadratische Wurzeln aus Nicht-Quadratzahlen, z. B. $\sqrt {2}$, oder auch $ 1 + \sqrt[3]{7} $
  • und solche, die auch transzendente Zahlen sind (etwa die Kreiszahl $ \pi =3,14159\ldots$ oder auch die Eulersche Zahl $e = 2,71828\ldots$.

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