Skip to content Skip to navigation

Allgemein sind wir daran interessiert, die Aussage $A \Rightarrow B$ zu zeigen. Dabei spielt $A$ die Rolle der Voraussetzung und $B$ die daraus ableitbare Aussage.
Manchmal können wir die Aussage $A \Rightarrow B$ nicht direkt zeigen oder der direkte Weg ist komplizierter als eine dazu logisch äquivalente Aussage zu zeigen. Dann können wir eine der folgenden Beweisverfahren verwenden:

Kontraposition: Definition und Beispiel

Widerspruch: Definition und Beispiel

 

 

Kontraposition: Definition und Beispiel

Merke

Behauptung: $(A \Rightarrow B)$ ist logisch äquivalent zu $( \neg B \Rightarrow \neg A)$.

Beweis: Wir stellen dazu die Wahrheitstafel auf:

Wir können also eine Aussage $B$ auch aus den Voraussetzungen $A$ folgern, indem wir von der negierten Schlussfolgerung $ \neg B$ ausgehen und zeigen, dass dann die Voraussetzungen auch nicht erfüllt sein können $(\neg A)$.

Beispiel

Behauptung: Sei $n \in \mathbb{N}$. Ist $n^2$ gerade, so ist auch $n$ gerade.

Erklärung: Wir zeigen die Aussage durch einen indirekten Beweis. Wir wollen also die Aussage "Ist $n$ nicht gerade, so ist auch $n^2$ nicht gerade" beweisen.

Beweis: Sei $n \in N$.

Ist $n$ nicht gerade, also ungerade, so gibt es ein $k \in \mathbb{N_0}$ mit $n = 2k + 1$.

Dann gilt aber $n^2 =(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ und damit ist $n^2$ auch ungerade, also nicht gerade, und damit die Aussage bewiesen.

 

 

Widerspruch: Definition und Beispiel

Merke

Wollen wir die Aussage $A$ beweisen, so können wir folgendermaßen vorgehen:

Wir gehen davon aus, die Aussage $A$ gelte nicht. Nun versuchen wir durch logische Schlüsse aus $ \neg A$ eine zweite Aussage $B$ zu folgern, von der wir wissen, dass sie falsch ist.
Haben wir diesen Widerspruch erkannt, so kennzeichnen wir ihn mit einem Blitz . Es muss also $ \neg A$ falsch gewesen sein und damit $A$ eine wahre Aussage.

Die Korrektheit dieses Beweisverfahrens beruht auf folgender Wahrheitstafel:

Da die Aussage $( \neg A \Rightarrow B) \wedge (\neg B)) \Rightarrow A$ immer wahr ist (Tautologie genannt) und wir in unserem Beweis den ersten Teil der Aussage, also $( \neg A \Rightarrow B) \wedge ( \neg B))$, zeigen, muss nun also $A$ gelten.

Beispiel

Beispiel: Die Irrationalität von $\sqrt{2}$
Euklid lieferte schon ca. 300 v. Chr. in seinem Buch Elemente einen zahlentheoretischen Beweis der Irrationalität von 2. Auf der 1999 von den Mathematikern Paul und Jack Abad präsentierten Liste der (nach ihrer Meinung) 100 wichtigsten mathematischen Sätze taucht unter anderem auch diese Aussage auf:

Behauptung: $\sqrt{2}$ ist irrational.

Beweis: Angenommen $\sqrt{2}$ wäre rational. Dann gibt es zwei ganze Zahlen $a$ und $b$, so dass für den vollständig gekürzten Bruch $\frac{a}{b}$ gilt $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$.

Also gilt auch $$ \frac{a^2}{b^2} = (\frac{a}{b})^2 = \sqrt{2}^2 = 2 $$ oder umgeformt $a^2 = 2b^2$. Somit muss $a^2$ eine gerade Zahl sein. Das geht nur, wenn $a$ selbst schon gerade ist.
Also gibt es ein $k \in \mathbb{Z}$ mit $a= 2k$. Es gilt damit auch $(2k)^2 = a^2 = 2b^2$ oder umgeformt $4k^2 = 2b^2$.

Kürzen wir nun mit 2, erhalten wir $2k^2 = b^2$. Damit ist aber auch $b^2$ und damit $b$ gerade. Also lässt sich der Bruch $\frac{a}{b}$ mindestens mit 2 kürzen.

Also war die Annahme falsch und somit muss $ \sqrt{2}$ irrational sein.

Beliebte Inhalte auf Schulminator