Höhensatz einfach erklärt


 

Höhensatz Formel: Der Höhensatz des Euklid

  • Der Höhensatz des Euklid, benannt nach Euklid von Alexandria, beschreibt Größenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck.
  • Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks heißt Hypotenuse. Die beiden kürzeren Seiten nennt man Katheten.
  • Die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Hypotenuse $c$ in zwei Abschnitte $q$ und $p$.
  • Der Höhensatz besagt, dass das Quadrat der Höhe genauso groß ist wie ein Rechteck mit den Seitenlängen $q$ und $p$.
  • Höhensatz Formel: $h^2 =p \cdot q$ oder $h = \sqrt{p \cdot q}$

Höhensatz des Euklid: Formel, Beweis, Dreieck

 

Höhensatz Beweis mit Satz des Pythagoras

  • Beim Höhensatz hat man die drei rechtwinkligen Dreiecke $ \triangle ABC$, $\triangle ADC$ und $\triangle DBC$, in denen jeweils der Satz des Pythagoras gilt.
  • Damit erhält man: $ h^{2}=a^{2}-p^{2}$  und $h^{2}=b^{2}-q^{2}$ und somit auch:
  • $2h^{2}=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}$ $=c^{2}-p^{2}-q^{2}= $ $(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}=2pq$
  • Division durch zwei liefert dann den Höhensatz: $h^2 =p \cdot q$

Höhensatz Aufgabe mit Lösung

Mertens zeichnet eine rechtwinkliges Dreieck mit $p=5cm$ und $q=3cm$.
Wie groß ist die Höhe $h$ des Dreiecks?

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Höhensazt: $h^2 = p \cdot q$ oder $h = \sqrt{p \cdot q}$.
Damit erhalten wir für die Höhe im Dreieck:
$ h = \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{15} = 3,87cm$.

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