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Merke
  • Zur Bestimmung der Lagebeziehung zwischen zwei gegebenen Geraden $g_1 : \vec x = \vec a + s \vec u$ und $g_2 : \vec x = \vec b + t \vec v$ setzt du die geraden gleich: $ \vec a + s \vec b = \vec b + t \vec v $
  • So erhältst du für die Unbekannten $s$ und $t$ nach kurzem Umformen das Gleichungssystem: $$ \begin{align} u_1s - v_1t &= b_1 - a_1 \\ u_2s - v_2t &= b_2 - a_2 \\ u_3s - v_3t &= b_3 - a_3 \end{align} $$ bzw. in Matrix Darstellung $$ \left( \begin{array}{cc|cc} u_1 & -v_1 & b_1 & -a_1 \\ u_2 & -v_2 & b_2 & -a_2 \\ u_3 & -v_3 & b_3 & -a_3 \end{array} \right) $$

Um die Lagebeziehung zwischen den Geraden zu bestimmen, bestimmst du die Lösungsmenge. Dabei gibt es folgende Möglichkeiten:

  • Wenn das LGS genau eine Lösung für $s$ und $t$ hat, dann haben die Geraden einen Schnittpunkt. Diesen erhältst Du durch Einsetzen der Lösung von $s$ oder $t$ in die zugehörige Geradengleichung, was in beiden Fällen natürlich denselben Schnittpunkt liefert.
  • Hat das LGS unendlich viele Lösungen, dann sind die Geraden identisch. In diesem Fall ist es nicht nötig, die unendlich vielen Lösungen des LGS anzugeben.
  • Wenn das LGS keine Lösung hat, überprüfst du noch die beiden Richtungsvektoren der Geraden: sind sie linear abhängig, dann sind die Geraden parallel und sind sie linear unabhängig dann sind die Geraden windschief.

 

 

Beispiel

Fünf geraden sind gegeben:

$$ g_1 : \vec x = \left(\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{matrix} \right) + s \left(\begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{matrix} \right), \quad g_2 : \vec x = \left(\begin{matrix} 5 \\ -3 \\ 8 \end{matrix} \right) + t \left(\begin{matrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{matrix} \right), \quad g_3 : \vec x = \left(\begin{matrix} -3 \\ 1 \\ -4 \end{matrix} \right) + u \left(\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ g_4 : \vec x = \left(\begin{matrix} 5 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) + v \left(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad g_5 : \vec x = \left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 7 \end{matrix} \right) + w \left(\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $$

$ g_1 \cap g_2$: Gleichsetzen der Geradengleichungen liefert das LGS $$ \left( \begin{array}{cc|c} 4 & 2 & 4 \\ -2 & -1 & -2 \\ 6 & 3 & 6 \end{array} \right) $$ Dieses LGS hat unendlich viele Lösungen, deshalb sind die Geraden $g_1$ und $g_2$ identisch.

$ g_1 \cap g_3 $: Die beiden Geradengleichungen werden wieder gleichgesetzt, dabei ergibt sich ein LGS mit folgender Matrix: $$ \left( \begin{array}{cc|c} 4 & -5 & -4 \\ -2 & -2 & 2 \\ 6 & 3 & -6 \end{array} \right) $$ Dieses LGS hat genau eine Lösung, nämlich $s = -1$ und $u = 0$. Damit gibt es hier einen Schnittpunkt der beiden Geraden, den wir durch Einsetzen von z.B. $u = 0$ in $g_3$ erhalten: $$ \vec s = \left(\begin{matrix} -3 \\ 1 \\ -4 \end{matrix} \right) + 0 \cdot \left(\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} -3 \\ 1 \\ -4 \end{matrix} \right) $$

$ g_1 \cap g_4 $: Auch hier entsteht nach dem Gleichsetzen der Geradengleichungen ein Gleichungssystem, es hat die Matrix $$ \left( \begin{array}{cc|c} 4 & -1 & 4 \\ -2 & -1 & -2 \\ 6 & -1 & -1 \end{array} \right) $$ Das LGS wird durchgerechnet, es hat keine Lösung und es gibt somit keinen Schnittpunkt. Da die beiden Richtungsvektoren der Geraden linear unabhängig sind (keiner kann so multipliziert werden, dass dabei der andere entsteht) sind die Geraden insbesondere windschief.

$ g_1 \cap g_5 $: Hier stoßen wir auf folgendes Gleichungssystem $$ \left( \begin{array}{cc|c} 4 & -2 & -1 \\ -2 & 1 & 2 \\ 6 & -3 & 5 \end{array} \right) $$ Dieses LGS hat ebenfalls keine Lösung, es gibt also keinen Schnittpunkt. Da die Richtungsvektoren linear abhängig sind, sind die Geraden parallel. Die Gleichungen Nr. 1 und 2 sind nicht äquivalent. Das Gleichungssystem aus diesen beiden Gleichungen hat keine Lösung. Eliminiert man nämlich mittels Additionsverfahren eine der beiden Variablen, so ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. führt die Summe aus der ersten Gleichung und dem zweifachen der zweiten Gleichung auf den Widerspruch $0 = 3$). Da außerdem die Richtungsvektoren linear abhängig sind, liegen hier zwei parallele Geraden vor.

 

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