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Ganze Zahlen

Ganze Zahlen Definition

Ganze Zahlen Beispiel

 

 

Ganze Zahlen Definition

  • Die ganzen Zahlen werden eingeführt, damit jede Gleichung der Form $a + x = b$ mit $a, b \in \mathbb{Z}$ lösbar ist. So ist z.B. $x = -10$ Lösung der Gleichung $15 + x = 5$. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit $\mathbb{Z}$ bezeichnet:
    $$ \mathbb{Z} = \left\{. . . , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .\right\} $$
  • Der Zahlenstrahl wird durch Hinzunahme der negativen Zahlen zur Zahlengeraden erweitert:

    Zahlenstrahl Ganze Zahlen
    Ganze Zahlen auf Zahlenstrahl

  • Die Spiegelzahl von $a$ ist $-a$, die Spiegelzahl von $-a$ ist $a$: $-(-a) = a$.
  • Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand vom Nullpunkt auf der Zahlengeraden:
  • Natürliche Zahlen sind ein Teilmenge der Ganzen Zahlen: $ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$
  • Addiert, multipliziert oder subtrahiert man zwei ganze Zahlen, so erhält man wieder eine ganze Zahl. Man sagt: $\mathbb{Z}$ ist bezüglich dieser Rechenarten abgeschlossen.
  • Vorzeichenregeln $$ (+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b) \\ (-a) \cdot (-b) = a \cdot b $$
  • Distributivgesetze $$ a(b + c) = ab + ac \\ (a + b)c = ac + bc $$
  • Weitere Rechenregeln $$ +(+a) = +a = a \qquad + (-a) = -a \\ -(-a) = +a = a \qquad - (+a) = -a \\ a - b = -(b - a) \\ -a-b = -(a+b) \\ a \cdot (-b) = (-a) \cdot b = -(a \cdot b) \\ a \div (-b) = (-a) \div b = -(a \div b) \\ $$

 

 

Ganze Zahlen Beispiel

  • $$ 5+(-12)=5-12=-(12-5)=-7 \\ -5 + (-12) = -5 - 12 = -(5 + 12) = -17 $$
  • $$ 3 \cdot (-5) = (-3) \cdot 5 = -15 \\ (-3) \cdot (-5) = +15 = 15 $$
  • $$ 30 \div (-5) = (-30) \div 5 = -6 \\ (-30) : (-5) = +6 = 6 $$
  • $$ 3+(-5) = (-5)+3 (-9)+(-7) = (-7)+(-9) \\ (-4) + [(-7) + 3] = [(-4) + (-7)] +3 $$

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